CHAPITRE X
laquelle donne
i étant un nombre entier. Mais, comme deux valeurs de a, qui diffèrent entre elles d'un multiple de tt, répondent à la même section normale, il suffit de considérer les deux valeurs
TT
qui définissent deux sections normales perpendiculaires entre elles ; pour Tune d'elles, le rayon de courbure R est un minimum, pour l'autre ce rayon est un maximum. Ces deux sections normales sont dites les sections principales de la surface au point M et leurs rayons de courbure sont nommés les rayons de coiu*bure principaux de la surface, au même point.
Cela suppose que 5 et r — f ne sont pas nuls simultanément; car, si l'on a j = o, r = f, l'angle a© n'est plus déterminé. Dans ce caà, la formule (3) se réduit à
d'où il suit que toutes les sections normales de la surface au point M ont le même rayon de courbure : deux sections perpendiculaires quelconques peuvent être regardées comme formant un système de sections principales. Les points des surfaces qui ont cette propriété ont reçu le nom (T ombilics ou points de courbure sphérique,
31 1 . Nous simplifierons la discussion de la formule (3), si nous prenons pour les plans coordonnés zx et zy les plans des sections principales dont nous venons de démontrer l'existence. Effectivement, Tangle désigné par ao sera nul, et la formule qui sert à définir cet angle nous donnera
462 CÀLCVL DIFFÉREHTIEL.
Alors la formule ( 3 ) deviendra
OU
(5) — = rcos*a -h /sîn'a.
Soient R|, Ra les rayons de courbure des sections principales faites par les plans zx, zy\ la formule (5)
donnera, pour a i= o et pour a = -»
par suite, l'expression générale de — sera
Le second membre de cette formule (7) ne change pas quand on change a en tt — oc ; on a donc ce théorème :
Deiix sections normales également inclinées sur une section principale ont des rayons de courbure égaux et de même signe.
Si Ton désigne par R' ce que devient R quand a augmente de -ï on aura
et les formules (7) et (8) donneront / \ I I I I
La demi-somme - ( r- -h ;:- 1 des courbures — > — des
2\Ri Ri/ Ri Rt
