CHAPITRE X
sections principales est dite la courbure moyenne de la surface au point M; la formule (9) exprime ainsi le théorème suivant :
La moyenne des courbures de deux sections normales perpendiculaires entre elles est toujours égale à la courbure moyenne de la surface,
312. Examinons maintenant comment R varie quand on donne à a les valeurs successives qui conviennent aux diverses sections normales, et qui restent comprises, si Ton veut, entre o et tt.
Supposons d'abord que les rayons de courbure principaux R|, R2 soient de même signe; on peut admettre qu'ils sont positifs, car, pour les faire changer de signe, il suffit de changer la direction des z positives. Cela posé, soit
la formule (7) peut être mise sous la forme
On voit que R croît de R| à R^ quand a croît de o à -•»
sm" a.
TT
et qu'il décroit ensuite de R2 à R| quand a croît de ~
à TT. La surface est tout entière située d'un même côté du plan tangent dans le voisinage du point de contact.
Supposons en second lieu que R| et Ra soient de signes contraires; admettons que R| soit positif, et posons
R, =— Rjtang^ao,
«0 étant un angle compris entre o et -, la formule (7) deviendra
- =: =i — r-^j — (sin'ao — sin'a).
R RiSiii^ao^ ^ '
4^4 CALCUL DIFFÉREHITIEL.
D'après cela, quand on fait croître a de o à ao» R croît de R| à + 00 , et il change de signe en passant par
rinfini; a continuant de croître de «a à -9 R croît lui-
même de — 00 à — Rj tang^^o ou R2. Quand a croît
de - à TT — «Q, R décroît de R2 à — 00 , et il change
encore de signe en passant par l'infini. Enfin , a continuant à croître dcTr — agà?:, R décroît de nouveau de +00 à R|. Dans le cas dont nous nous occupons, les points infiniment voisins du point considéré sont les uns d'un côté du plan tangent, les autres de l'autre côté.
Autre manière de présenter les résultats qui précèdent.
De l'indicatrice,
313. Des considérations très-ingénieuses dues à Charles Dupin conduisent facilement aux résultats divers que nous venons d'obtenir; nous ne pouvons nous dispenser de faire connaître ici cette élégante méthode.
Considérons une surface quelconque et rapportons-la, comme précédemment, à trois axes rectangulaires passant par un de ses points M, l'axe M^ coïncidant avec la normale, et les deux autres, Mx, IVI^, étant en conséquence dans le plan taiigent en M.
Soit MM' la section faite dans la surface par le plan zMTy dont la trace sur le plan xy fait, avec l'axe des x, l'angle a. Joignons le point M à un point infiniment voisin M' de la courbe MM', et menons par le point M', dans le plan zMT, les droites M'O et M'K perpendiculaires à Mz et à MM' respectivement. Soient O et K les points où ces perpendiculaires rencontrent la normale Mr.
Le cercle circonscrit au triangle rectangle M M'K a son centre sur la normale Mz ; il a donc pour limite (n°217)
CHATITRE X. 4^5
le Cercle de courbure en M de la courbe MM', lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M< Or
le diamètre du cercle M M' K est
