MO

Si, par le point O, on mène un plan parallèle au plan tangent xy^ on déterminera dans la surface une certaine courbe J passant par le point M', et M'O sera le rayon vecteur u du point M'; d'ailleurs, Téquation du plan de la courbe J est -s = =i= MO; la formule précédente peut donc s'écrire comme il suit :

B^lim— ,

S. — Cale, diff.

et elle fait connaître en grandeur et en direction le rayon de courbure R.

Cela étanty désignons par h une longueur arbitraire déterminée de même signe que Zy et soit p une longueur telle, que le rapport des infiniment petits

ait pour limite Tunité. La longueur p étant ainsi déterrainée, prenons ^p=z p à partir du point M, sur la trace MT de la section MM'; chaque section normale donnera un tel point py et même deux points p symétriques par rapport à Torigine. Le lieu géométrique de tous ces points /7 est une courbe abp située dans le planxr à laquelle Charles Dupin a donné le nom à^indicatrice. Cette dénomination est parfaitement justifiée par la propriété dont jouit cette courbe; efTectivement, le

rapport des infiniment petits — ) -ayant pour limite Tunité, la formule (i) nous donne

et, par conséquent :

Les rayons de courbure des diverses sections normales sont proportionnels aux carrés des rayons vecteurs de l'indicatrice dirigés suii^ant les traces des plans de ces sections,

L^infiniment petit z étant une constante, dans le passage d^une section normale à une autre, le rapport du rayon vecteur u de la courbe variable J au rayon vecteur p de rindicatrice est constant, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à u. On peut donc dire que l'indicatrice est une courbe semblable à la section faite

chavithe X. 4^7

dans la surface par un plan parallèle au plan langent et infiniment voisin de celui-ci.

Si la surface est tout entière située d'un même côté du plan tangent, dans le voisinage du point M, l'indicatrice, construite comme nous l'avons indiqué, fera connaître les rayons de courbure de toutes les sections normales. Mais, quand le contraire a lieu, la formule (i) ne peut donner tous les rayons qu'à la condition que l'infiniment petit z reçoive en même temps des valeurs positives et des valeurs négatives ; alors il faudra donner à la ligne h le double signe di. L'indicatrice sera ainsi composée de deux courbes distinctes, et elle donnera, comme dans le premier cas, les rayons de courbure de toutes les sections normales.

314. Cherchons maintenant l'équation de l'indicatrice. Les coordonnées rectangulaires étant x, y^ z^ posons, comme à l'ordinaire,

dz-=pdj: -\- qdy^ dp =^ ntr -h sd/, dfj =: sdx -^ tdj';

les quantités z, p elq étant nulles au point M, on aura, pour un point quelconque M' de la surface,

dans cette formule, r, j, t ont les valeurs qui conviennent au point M, et Rs désigne le reste de la série de Maclaurin arrêtée au troisième terme. L'équation précédente est celle de la surface, et si l'on y fait

xz=iu cosa, ^ = tt sin a,

elle deviendra l'équation de la section MM' entre les coordonnées z et u. Faisant cette substitution et divisant par u^j il viendra

-r = - (rcos'a -f- 25 sinacosa + rsin*a) H ^.

Telle est la relation qui a lieu entre les infiniment petits z et iL^ considérés au numéro précédent. Comme le rapport — a pour limite -j» et que -\ est infiniment petit, on aura à la limite

( 3 ) -. = - [/'cos'a -h 25 sin« cosa -f- / sin'a).

Cette équation est celle de l'indicatrice entre les coordonnées polaires p et a. Pour revenir aux coordonnées rectilignesy on posera

pCOSarrra:, psina=:^,

etTéquation (3) deviendra

h étant, nous le répétons, une ligne arbitraire à laquelle on doit donner le double signe db.

Si Ton a rt — 5^]>o, il faut, pour avoir une courbe réelle, donner à h le signe des dérivées /*, t dans Téquation (4); Tindlcatrice est alors une ellipse.

Si Ton a ;t — s^ = o, il faut encore donner à h le signe des dérivées r, t\ Tindicatrice est formée dans ce cas de deux droites parallèles situées à des distances égales du point M.

Enfin, si l'on a /'^ — -^^^o, il faut donner à A le double signe ± ; dans ce cas, Tindicatrice est formée de deux hyperboles conjuguées ayant les mêmes asymptotes, et dont Tune a pour axe transverse l'axe non transverse de l'autre.

La formule (a), qui donne l'expression du rayon R, devient, à cause de l'équation (3),

(5) R = ^ :-- pr-i-î

* r ces' a -h 24* siua cosa 4- /siircc