CHAPITRÉ TC

c'est la même que nous avons obtenue au n° 310 par une vole toute différente.

3Î5. Les rayons de courbure des sections normales en un point d'une surface étant proportionnels aux carrés des rayons vecteurs de Findicatrice, à chaque propriété de ces rayons vecteurs répond une propriété analogue des rayons de courbure.

Ainsi, dans TelUpse, le rayon vecteur central a un maximum et un minimum , et les directions correspondantes sont perpendiculaires entre elles; donc, dans le cas de rt — s^'^o, où l'indicatrice est une ellipse, il existe deux sections normales de la surface, perpendiculaires entre elles, telles, que le rayon de courbure de l'une est un maximum et le rayon de courbure de l'autre un minimum : ce sont les sections que nous avons nommées ])rincipales. L'un des rayons de courbure devient infini dans le cas de rt — 5* = o, où l'indicatrice elliptique dégénère en deux droites parallèles. Enfin la même propriété subsiste lorsque l'indicatrice est formée du système de deux hyperboles. Dans un tel système, le carré du rayon vecteur central a deux minima qui répondent encore à deux directions rectangulaires; mais, comme ces deux rayons correspondent, l'un à une valeur positive, l'autre à une valeur négative du rayon de courbure, on voit que celui-ci a un maximum et un minimum comme dans le cas de l'ellipse, et que les sections correspondantes sont encore perpendiculaires entre elles.

Dans l'indicatrice elliptique, la somme des inverses des carrés de deux rayons perpendiculaires est constante ; la même chose a lieu, dans l'indicatrice hyperbolique, en substituant la différence à la somme. Il en résulte, en ayant égard aux signes des rayons de courbure, que la somme des courbures de deux sections normales perpendiculaires entre elles est constante et égale à la somme

des courbures principales. Nous avons déjà démontré cette proposition au n^ 311.

Deux rayons vecteurs de l'indicatrice également inclinés sur Tun des axes sont égaux entre eux : on en conclut que deux sections normales également inclinées sur Tune des sections principales ont la même courbure.

On voit enfin que les points des surfaces auxquels on donne le nom (ï ombilics sont ceux pour lesquels l'indication est une circonférence de cercle; effectivement, toutes les sections normales ont alors la même courbure.

Dans les surfaces du deuxième degré, les sections faites par des plans parallèles sont des courbes semblables : il en résulte que l'indicatrice en chaque point est l'une quelconque des sections parallèles au plan tangent en ce point. Donc, les ombilics des surfaces du deuxième degré sont les points où le plan tangent est parallèle aux plans des sections circulaires.

Ciis où la théorie précédente est en défaut.

316. La loi si remarquable, d'après laquelle varie la courbure des sections normales en un point d'une surface , suppose l'existence d'un plan tangent en ce point, et elle exige aussi que les dérivées partielles /', s, t aient, au même point, des valeurs déterminées. Lorsque le contraire a lieu, notre analyse ne subsiste pas, et la loi des variations delà courbure des sections normales peut être très-différente de celle qui a lieu dans le cas général. J'éclaircirai cela par un exemple.

Considérons la surface représentée en coordonnées rectangulaires par l'équation

CBAPITRV X. 471

/étant une fonction donnée. En posant

a:r= p cosa, jr = p aitiK^

dans Téquation (1), on obtient

ay\tangaj^

ce qui est Féquation de la section faite dans la surface par le i)lanj^=xtanga, z et p étant alors les coordonnées; cette section est une parabole dont la tangente à l'origine des coordonnées est située dans le plan xy. Cherchons ce que devient, pour cette origine, l'expression générale des rayons de courbure des sections normales. D'après l'équation (i), z est une fonction* homogène du deuxièipc degré des coordonnées x ei y l on a donc, d'après le théorème des fonctions homogènes (n*^ i36),

Si l'on remplace x eX. y par |ocosa et josina, puis qu'après avoir divisé par p'^ on fasse tendre p vers zéro, on aura

r cos* a + 25 s^ia cosa 4- t sin* oe

/(tanga)

r,5, IodX dans cette formule les valeurs qui conviennent à l'origine des coordonnées, et a représente l'angle que fait avec l'axe des x la tangente des sections normales. L'expression du rayon de courbure (n° 310) devient alors

R=/( tanga).

et la loi de ses variations est arbitraire comme la fonction/• Ainsi ce rayon de courbure n'aura plus nécessairement, comme dans le cas général, un maximum unique

473 CALCUL DIFFÊREATICL.

et un minimum unique répondante deux directions perpendiculaires.

La théorie générale ne s'applique pas au cas actuel, parce que, pour a: = 0,^ = 0, les dérivées r, s, t deviennent indéterminées; leurs valeurs dépendent de la H-

mite vers laquelle tend le rapport - quandx et j^ tendent

vers zéro.

De l'en^^eloppe des plans tangents à une sur/ace aux divers points d'une courbe donnée. — Des tangentes conjuguées.

317, Considérons une courbe tracée sur une surface donnée ; le plan tangent à la surface en un point (x, y y z) de la courbe a pour équation

cX il est enveloppé par une surface développable qui est déterminée par Féquation (i), jointe à celle qu'on en déduit par la différentiation relative à la variable indépendante, dont dépendent sur la courbe donnée les quantités Xy y-y z, p, q. A cause de dz=pdx-hqdj'y la différentiation dont je viens de parler donne

Pour avoir l'arête de rebroussement de la surface développable dont nous nous occupons, il faut Idifierentier l'équation (a), ce qui donnera

(3) {X — x)€np-h (Y— j)/f"<7 — {dcdp-+-dxfiq) = o.

Les équations simultanées ( i ) , (2}, (3) sont renfermées dans la formule

.. X — Jr Y — X >Z — z dpdx-^-^dqdy ^

^ ' dq — dp pdq — qdp dqd*p — dpd*q^

CBAPITRE X. 473

les valeurs de X, Y, Z tirées de ces équations sont les coordonnées du point de Farête de rebroussement qui correspond au point (x, y^ z). Les équations formées en égalant les trois premiers rapports de la formule (4) équivalent au système des équations (i) et (2) : ce sont celles de la caractéristique. Cette caractéristique et la tangente menée par le point (x, y^ z) à la courbe donnée sont dites, diaprés Charles Dupin, des tangentes conjuguées de la surface.

Désignons par «^ 6, y les angles que forme, avec les axes, la tangente de la courbe donnée; par a', 6', /ceux que fait, avec les mêmes axes, la tangente conjuguée. Les premiers cosinus sont proportionnels à dx, (fy, dz ; les autres sont proportionnels à dq, — dp, pdq — qdp, d'après la formule (4), ou, selon notre notation ordinaire, proportionnels à

sHx -4- tdjr, — [rdx -i- sdj]^ \^ps —qr]dx -4- [pt — qs)dy\

on a donc

cosa' co8<5'

. 5C0Sa -i-f cos6 — (rcosa -i- jcosê)