I -h <7* -1 — î COS' 6 1= O
(I -h ^* -. pr- -^=^ ] COS'
319. Cette formule (5) nous donne immédiatement les équations qui déterminent les ombiLcs de la surface;
elle fait connaître effectivement la valeur du rapport - — ^
*^*^ ces 6
qui répond, en un point donné, à une valeur donnée de R. Or, si le point dont il s'agit est un ombilic, la valeur de — ~ est indéterminée, et réciproquement ; donc
on aura les conditions des ombilics en égalant à zéro les coeflicients de cos'a, de cosa cos6 et de cos'S dans la formule (5). On trouve ainsi
et chacun des rapports qui figurent dans cette formule
exprime la valeur de — > R étant la valeur du
rayon de courbure qui convient à Tombilic,
En général, les deux équations (6) détermineront sur
4j6 CALCUL DIFFÉaBHTlEL.
la surface un nombre d'ombilics limité ou illimité, mais qui ne formeront pas une ligne continue; il peut arriver cependant que les deux équations (5) se réduisent à une seule, en vertu deTéquation de la surface, et alors celle-ci admettra des lignes ombilicales.
320. L'équation (5) nous fait connaître aussi les rayons de courbure principaux en un point quelconque de la surface. Effectivement, les deux valeurs du rapport — -
'^'^ ces 6
tirées de Téquation (5) doivent être égales entre elles dans le cas du maximum et dans celui du minimum; exprimant donc cette égalité, on obtiendra l'équation
[pq -^\ — ( !■+-/>' ] 1 I4-<7*— : )=--0
ou
(7) (^^--•^")R' — [(i-+-7*)r— 2/?^5-f-(i4-/?«)f]v'i-h/?*-h<7«R4-;i-i-/>«-i-î*)* = -, qui a pour racines les rayons de courbure principaux.
Il reste à trouver la valeur du rapport — - relative à
'^^ ces 5
chacune des sections principales. Or, R désignant actuellement l'une des racines de l'équation (7), l'équation (5) aune racine double, si l'on y considère cosa ou cosë comme l'inconnue ; cette racine double satisfera donc à l'équation obtenue en différentiant l'équation (5), soit par rapport à cosa, soit par rapport à cos6. On a, d'après cela,
I 1 .4-^1 ; — ] cosa -t- [pq ) C0S6 = o,
( pq ) cosa -h ( I -f- 7' — ■ r — =rt I cos6 =: o,
