CHAPITRE X

et l'on tire de ces équations

rcosa -4- /cos6 s cos a -h t cos^

(i -h/?*) cosa "hpqcosB pqcosoL -h (i -+-9*) cosè

Téquation formée avec les deux premiers des rapports contenus dans cette formule est du deuxième degré par

rapport à — - \ elle détermine les valeurs de ce rapport

qui conviennent aux deux sections principales. Les équations (2) et (3) permettent de calculer ensuite les valeurs des trois cosinus cosa, cosS, cosy.

L'équation (5) coïncidera avec Téquation (7) du n® 157,

si Ton y regarde ■ comme Finconnue ; on voit

ainsi que les centres de courbure des sections principales sont précisément les deux points que nous avons eu à considérer dans la question à laquelle je fais ici allusion.

En désignant par R| et Ra les racines de Féquation (y), on a

Rj+R,- ^:^— ^ -.

' ' rt — s*

et de ces formules (9) on tire

(R.-Ri)'

(10) ^ ~ (rt - *' )» Li^ ~ 7:^3* ~ i-Hî'J

4'}8 CALCUL DIFFÉREUTIEL.

la formule (lo) montre que les équations (6) ont nécessairement lieu y lorsque Téquatiou (7) a ses deux racines égales; on retrouve ainsi les conditions déjà obtenues pour les ombilics.

Détermination des ombilics de l'ellipsoïde.

321. Pour donner un exemple de la théorie précédente, nous l'appliquerons à la recherche des ombilics

de l'ellipsoïde. Désignons parp, yjp^ — b^ ei^p^ — c^les demi-axes de la surface et supposons b<^c; son équation sera

et l'on en tire, par la différentiationy

jr pz y qz

"1 "^ "î ï ~ °> "i li ^~ "î i = ^5

difTérentiant de nouveau, on obtient

sz-\-pq = 0, d'où l'on tire

t[pqr---{i-^p^)s]=z-^^pqy

Les seconds membres de ces formules étant nuls pour les ombilics, on ap=o ou q = o; mais l'hypothèse de p = o donnerait, pour^, une valeur imaginaire; on