CHAPITRE X
a donc nécessairement ^ = o, et il en résulte
bJù^—c" Jc*^b^Jp*~c* ^bp
les radicaux devant être pris avec le double signe rh.
On voit que Tellipsoïde a quatre ombilics qui sont situés dans le plan principal du plus grand axe et du plus petite ce qui s'accorde avec ce que nous avons dit au n» 315.
Des lignes de courbure d'une surface.
322. On nomme ligne de courbure d'une surface toute ligne telle que les normales menées à la surface, par ses différents points, appartiennent à une surface développable.
Soient Xf y y z les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface donnée, et faisons, comme à l'ordinaire,
dz ^=pdx -\-qdXy dp = rdx -f- sdjr^ dq ■=: sdx -\- tdy,
La normale de la surface au point {x,y, z) aura pour équations
Maintenant, si les coordonnées x, y^ z appartiennent à une ligne de courbure, elles seront, ainsi que p ei q^ des fonctions d'une même variable ; la droite ( i ) étant alors la tangente de l'arête de rebroussement d'une surface développable ou, ce qui revient au même, la caractéristique de cette surface, elle sera contenue dans le plan mobile enveloppé par la même surface ; donc l'équation de ce plan mobile sera
(a) [IX-xH-p{Z-z)]-9[[Y-x) + q{Z-z)]=.o,
48o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
0 élant une fonction du paramètre ou de la variable dont dépendent les coordonnées j:, jy z. Mais, diaprés la théorie exposée au n°283, la caractéristique de Fenveloppeest représentée par Téquation (2), jointe à celle qu'on en déduit par la difTérentiation relative au paramètre qu'elle renferme; donc cette dernière équation doit devenir identique en vertu des équations (i). En différentiant Téquation ( a ) et en supprimant le terme en dB qui est nul, par les équations (i), il vient
Cette équation devant subsister, quel que soit Z, elle se décompose en deux autres, savoir :
j dx-\pdz—$[dx + qdz), ' ^ I dp=zQdqy
d'où, en éliminant 0,
dp dq
^^' dx -\-pdz dj -h qdz'
telle est Téquation qui doit avoir lieu, d'après la définition, pour tous les points d'une ligne de courbure.
Remplaçant dz, dp, dq par leurs valeurs, Téquation (4) devient
rdx-^sdy sdx-htdy
OU
les dérivées p^ q, r, s, t sont des fonctions données des coordonnées x^jr, et l'équation (6) est V équation différentielle des projections des lignes de courbure de la surface sur le plan xjr.
chapithk X. 4^1
Pour chaque système de valeurs des coordonnées x et j^,
l'équation (6) donne deux valeurs de -jr- ou de lim — - ;
il résulte de là qu'il passe deux lignes de courbure par chaque point de la surface autre qu'un ombilic : dans le cas des ombilics, Téquation (6) se réduit aune identité.
323. L'équation (2) du plan mobile que nous avons considéré devient, à cause de la seconde équation (3),
[,x~^)+/7.;z-2)]^(7-[(Y-r) + 9(z~3)]rf/. = o,
et, pour déterminer l'arête de rebroussement de son enveloppe, il faut joindre à l'équation précédente (n° 283) celles qu'on en déduit par une double dilTérentiation faite dans l'hypothèse de X, Y, Z constantes. Une première difTérentiation donne, en ayant égard à l'équation (4)»
DifTérentions de nouveau et désignons par g la valeur de
chacun des membres de la formule (4), il viendra, en ayant égard aux équations précédentes qui équivalent à celles de la normale,
(Z — « — M) [dpd^q^dqd^p]^o^
d'où
La valeur de Z qu'on obtient ainsi se rapporte au point de contact de la normale avec l'arête de rebroussement. Si l'on désigne par R la partie de cette normale comprise entre le point de contact dont nous venons de parler et la surface, on aura
ou, à cause des équations (i),
R = V^i ^p^J*[Z — z] =z ^~l-^p^-hg*M.
S. — Caic. tUjf, 3i
Or — est la valeur commune des deux membres de la for- M
mule (4) ou de ceux de la formule (5); on a donc
rdx -+■ sdy sdx -f- tdr vi-h/^*-4-7'
^^' [\-{-p^)dx-^-pqdy^ pqdx-h[l-^q^)df~~ R
Soient a, 6, y les angles que fait avec les axes la tangente à la ligne de courbure, on aura
dx djr
cosa COS&
et la formule précédente deviendra
(rcosa -h jcosê * cosk -î- f cos6
( 1 -:-/?* ) cosa -h pq CCS 6 pq cos« -i - (i -t- 7* ) cos6
Les deux équations contenues dans cette formule sont précisément celles qui nous ont servi (n® 320) à déterminer la valeur R du rayon de courbure des sections principales en un point de la surface donnée, ainsi que
la valeur du rapport — - qui convient à ces sections , les
angles a, €, 7 se rapportant à la tangente de la section; on peut donc énoncer ce théorème :
Théorème. — i** Les lignes de courbure qui passent par chaque point d'une surface donnée sont tangentes aux sections principales relatives au même point, et par conséquent elles se coupent à angle droit .
a** L'arête de rebroussement de la surface dévelop^ pable formée par les normales de la surface aux points d'une ligne de courbure est le lieu géométrique des centres de courbure des sections principales tangentes à la ligne de courbure.
cbapithe x. 4^3
324. Remarques. — Il est important de remarquer que les rayons de courbure d*une ligne de courbure ne sont pas égaux, en général, à ceux des sections principales tangentes. Si p désigne le rayon de courbure d*une ligne de courbure, d Tangle que fait la direction de ce rayon avec la direction du rayon de courbure R de la section principale, on a
0 = RcosÔ,
comme on Ta vu au n" 308. L'égalité des rayons p et R n'a donc lieu que si le plan osculateur de la ligne de courbure passe par la normale de la surface.
Nous avons obtenu l'équation différentielle des projections des lignes de courbure d'une surface sur le plan jrj; la recherche de l'équation de ces lignes entre les seules coordonnées exige en général les méthodes qui font l'objet du Calcul intégral. Maison peut voir dès à présent que les lignes de courbure constituent deux systèmes distincts que l'on nomme orthogonaux ; ces lignes décomposent effectivement la surface en quadrilatères infiniment petits dans lesquels les quatre angles sont droits. Les courbes auxquelles appartiennent les côtés opposés de ces quadrilatères forment le système des lignes de l'une des courbures et les trajectoires orthogonales de ces courbes constituent le système des lignes de l'autre courbure. Mais, en général, les deux lignes de courbure qui passent par un même point d'une surface ne sont pas analytiquement distinctes : elles ne sont en réalité que deux branches d'une même courbe ; c*est seulement dans des cas particuliers que les deux systèmes de lignes de courbure peuvent être représentés par des équations distinctes.
Toute ligne tracée sur un plan ou sur une sphère doit être regardée comme une ligne de courbure de cette surface. Dans le premier cas, les normales de la surface me-
484 CALCUL DIFFÉREMTIEL.
nées par les points d'une ligne quelconque forment une surface cylindrique qui est développable ; cette ligne satisfait donc à la définition des lignes de courbure. Dans le cas de la sphère , les normales vont concourir en un même point et elles forment une surfaee conique qui est encore développable. On voit au surplus que l'équation (4) des lignes de courbure est toujours satisfaite dans le cas du plan et dans celui de la sphère. Pour une courbe plane, on a effectivement
dp =0, r/(^ =: o ;
dans le cas de la sphère ,
(j:-Xo)*-h(j^— ro )•-*-(« -«0 )' — «•=- o, on a
tfx-^ pdz-{-[z — Zo)r//?n=:o et €ljr-^qdz-^[z — z^)dq-:^o.
Propriétés relatives aux lignes de courbures.
