CHAPITRE II

Alors la formule (a) devient

dx = A,

et, en conséquence, cette formule (a) peut être remplacée; dans le cas général, par

(3) d/[x)=/'[x)dx.

On voit, en résumé, que la différentielle d'une fono tion est égale à la déiwée île cette fonction multipliée par la différentielle de la variable indépendante ; quant à cette dernière différentielle, elle n'est autre chose qu'un accroissement arbitraire attribué à la variable indépendante.

Si Ton divise la formule (3) parefx, il viendra

ce qui exprime que la dérivée d^ une fonction est le rapport de la différentielle de cette fonction à la différentielle de la variable.

Cette «manière de représenter les dérivées est la plus

usitée. Ainsi l'expression ■ ,^ ' peut être indifféremment

considérée à deux points de vue, soit comme exprimant le quotient de df[x) par rfx, soit comme un symbole représentant la limite du rapport ■ ' ' ou -^—' Aussi écrit-on ordinairement la formule (3) comme il suit :

<fy=%dx.

a 8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

en représentant par une seule lettre y la fonction que nous avons désignée jusqu'ici pary(x).

Théorème relatif aux fonctions de fonctions.

21 . Soient m, x, y trois variables et supposons que deux d'entre elles dépendent de la troisième. Si Ton a exprimé la valeur de j^ en fonction de u, de manière que Ton ait

puis que l'on choisisse x pour variable indépendante, y sera dite une fonction de fonction de la variable indépendante X.

Gela posé, nous établirons la proposition suivante^ qu'on doit regarder comme fondamentale :

Théorème. — Si Von a

on aura aussi

quelle que soit la variable indépendante.

En effet, la variable indépendante étant désignée par x, attribuons à cette variable l'accroissement Ax, et désignons par Au, A^^ les accroissements correspondants de u et de y ; on aura identiquement

Ar Ar A« — = — X -• A.£ lu A«r

Faisons tendre Ar vers zéro, les limites de — > -— sc-

A.r Ax

ront respectivement --9 — ; d'ailleurs la limite du rap-

(IX eue

port

Ar __ f[u-\-tift)^f[u)

Au Au