CHAPITRE X. 4SS
OU
/ ( cos6 cosy' — cosy cos6' ■ d cosa' ( I ) \ "^ ' ^***7 cosa' — cosa cosy' ) d cos6'
( -\- ( cosa cos6' — cos6 cosa' ^ d cosy' = o.
On a d^ailleurs
cosa cosa' -f- cos6 cosC -f- cosy cosy' = o, cos'a' -f- cos*6' -t- cos'y' = i ,
et, par la difTérentiation,
cosa' dcosa -\- cos6' dcos& -h cosy' rf cosy' =: o.
En combinant cette dernière identité avec l'équation ( i ),
on obtient
, . dcnsa r/ros6' //cosy'
ciwa cosê cosy
Ainsi, pour qu'une courbe donnée, tracée sur une surface, soit ligne de courbure de cette surface, il faut et il suffit que la tangente de la courbe en chaque point soit parallèle à la droite qui fait avec les axes des angles dont les cositius sont proportionnels aux difTérentielles
É^cosa', dco^t\ fl^cosy',
cd, &, / étant les angles formés avec les axes par la normale de la surface.
Posons
(3) dtr' z= y\rfcosa')*-f- (rfcos6')*-T- ^//cosy' ;*,
et déterminons trois angles $', y/, Ç* par les équations
(4) dfcosa'=û?<r'cosÇ', c?cos6' = r/<r'cosïî', dcosy' =^da cos}i\
Si la courbe proposée est ligne de courbure, les normales de la surface menées par ses différents points seront tangentes à une courbe ; dans ce cas do^ est l'angle de contingence de cette dernière courbe et Ç', r/, ^ sont
les angles formés par sa normale principale avec les axes. Dans tous les cas, la direction que déterminent les angles r, ri y Xi est perpendiculaire à la normale de la surface, et par suite elle est dans le plan tangent; car l'équation
ces* ot! -+• cos* 6' 4- CCS* y' = I
donne, par la difTérentiation, à cause des formules précédentes,
CCS a' cosÇ' -+- CCS 6' cosîj' -I- cosy' cosÇ' = o.
Soient encore X', ;/, y/ les angles formés avec les axes par une droite perpendiculaire à la normale de la surface et à la direction qui répond aux angles Ç', rt, Xi\ les cosinus des angles Ç', ri , XI étant proportionnels à dcosa\ dcosG'y rfcos/, ils le sont aussi, d'après le calcul du n° 273, aux différentielles dcosX', dcosii!, d cos v'. Si donc on pose
(5) dr' =\/[d cosV )« -h (r/cosfx' )* -4- ( ^ cosv' )\ on aura
(6) d cosV ^=: cosi' dr' , </coSfx' = co5î3V/T', d cosv = mys^ dr' ,
Cela posé, désignons généralement par co l'angle formé par la tangente de la courbe donnée avec la direction qui répond aux angles Ç', r/, ^'; par 0 l'angle que fait la normale de la surface avec le plan osculateur de la courbe. Soient d'ailleurs, pour cette dernière courbe, conformément à nos notations habituelles, ^, m, ^ et X, fx, v les angles formés avec les axes par la normale principale et par l'axe du plan osculateur, d<j et dr les angles de contingence relatifs à la première et à la seconde courbure. Les droites qui font avec les axes les angles
