CHAPITRE X

forment un système rectangulaire, et les cosinus des angles formés avec ces trois droites, par la tangente, la normale principale et Taxe du plan osculateur de la courbe donnée, sont respectivement

G, cos A), sin 6t>,

cosô, dz sind sinu, r:p sinôcos»,

sinO, incosôsinûi, zhcosôcos»;

mais comme on passe des signes inférieurs aux supérieurs en changeant &> en &> + ir et en substituant, à la direction d'abord choisie de la tangente à la courbe, la direction opposée, nous admettrons les signes supérieurs, et l'on aura en conséquence les formules suivantes :

Icosacosa' -h cosScosS' -*- cosy cosy' =- o, cos a cos 5' -h cos 6 cosij' -h cos 7 cosÇ' — cos», cos a cosV -I- cos 6 cos|ùi' -h cos 7 cosv' 1:=^ sinw; i cosÇ cosa' -4- cosig cos6' -f- cosÇcosy' =^ cos0, (8] \ cosÇ cosÇ' 4- cosTj costq' -4- cosÇcos!;' := -f- sindsinu, V cosÇ cos V -1- cosTj cosf*' -t- cosÇ cosv' =: — sin 0 cos w; 1 cosX cosa 4- cos fA cos 6' -4- cosv cos 7' -- sinô,

(g) I COSX COsÇ' + COSfACOSu' -f- cosv COsÇ' =r — COS0 sinea, ( COS^COSX' -h COSfACOS|ùi' -+- cosv cosv' rz: -\- COSÔCOSw.

Si Ton différentie la première et la troisième équation (7), puis la première équation (8), en faisant usage, pour cet objet, de nos formules du n**274, il viendra, en ayant égard à toutes les précédentes équations,

(10) cosw dv -h cos B ih =z o,

1 1 I ] dr -- dfa -f- sin B (h,

(12) f/r = é/0 -f- sin « r/o-',

et, à cause de la formule (10), la formule (12) donne (i3) dr=:^d9 — cos ô langui d(T.

326. Les formules (lo), (ii), (i^)» (i 3) conviennent à une courbe quelconque tracée sur une surface. Nous avons vu que la condition des lignes de courbure est sin oo = o ; cette condition se réduit donc à

d'après la formule ( 1 3 ) , ce qui donne le théorème remarquable de Lancret) savoir :

Théorème I . — Pour qu'une courbe plane tracée sur une surface soit ligne de courbure de cette surface, il faut et il suffit que l'angle de torsion de la courbe soit égal à la différentielle de l'angle formé par le plan oscula^ teur de celle-ci auec la normale de la surfcuie.

Si Ton a dr = o, il en résulte d6=o, d'oii 9 = const. , el réciproquement ; on a donc cette autre proposition :

Corollaire. — Pour qu'une courbe plane tracée sur une surface soit ligne de courbure de la surface, il faut et il suffit que le plan de la courbe coupe la surface partout sous le même angle.

Si la couVbe proposée est une ligne de courbure plane de la surface y on a sinco = o, d(ù = o et dQ = o; alors les équations (lo) et (ii) donnent par la division

—r-, = — tang 0 = const.

On a donc ce théorème :

Théorème II. — Si une ligne de courbure d^ une surface est plane, les normales de la surface aux points de la ligne de courbure forment une surface dés^eloppable dont l'arête de rebroussement jouit de la propriété que ses deux courbures ont un rapport constant. Cette arête de rebroussement est donc une hélice tracée sur un cylindre à base quelconque (n° 301 ).

chàfithe X, 4^9

327. Considérons maintenant une courbe appartenant à deux surfaces ; on aura, par la formule ( 1 3 ) du n** 325,

dr=^d$ — cosô tangu «/o-, dr = d$i — cosOi tangui c^o-,

en dénotant par 9|, (ù^ les quantités analogues à 0, co, et relatives à la deuxième surface. On tire de là

</(ô, — ô) = (cosôi tang«i — cosd tango)] dtr;

les angles 9 et 9^ sont situés dans le même plan, comptés tous les deux, dans le môme sens, à partir de la normale principale de la courbe donnée ; donc la différence 9^ — 9 exprime Tangle que les deux surfaces font entre elles ; d'ailleurs Téquation

sino) = 0 ou sinu, = o

est la condition pour que la courbe considérée soit ligne de courbure de la première ou de la seconde surface. On a donc ce théorème :

Théorème III. — Si l'intersection de deux surfaces est une ligne de courbure de chacune d ^ elles, ces surfaces se coupent partout sous le même angle. Réciproquement, si deux surfaces se coupent partout sous le même angle et que l'intersection soit une ligne de courbure de l'une des surfaces, elle est aussi ligne de courbure de l'autre surface.

Et, comme une ligne plane ou sphérique est ligne de courbure du plan ou de la sphère qui la contient, on a ce corollaire, qui comprend celui du théorème I ( n** 326) :

Corollaire I. — Pour qu'une courbe plane ou sphérique tracée sur une surface donnée soit une ligne de courbure de la surface, il faut et il suffit que le plan ou la sphère qui contient la courbe coupe la surface partout sous le même angle.

490 C\LCUL DIFFÉRENT IRL.

Les plans tangents à une surface développable font partout avec la surface un angle nul, et ils contiennent la génératrice. On a donc cette autre proposition :

Corollaire IL — Les génératrices d'une surface dév^eloppable sont des lignes de courbure de cette sur--

face.

328. On peut établir facilement le théorème III sans recourir aux formules du n° 325. Effectivement, considérons deux surfaces pour lesquelles on a respectivement

Ces deux équations ont lieu simultanément pour Fintersection des deux surfaces, et Ton en tire

dx dy dz

désignons par dt chacun de ces trois rapports égaux, et posons

dr. -h pdz dy -H 7^'i __ ^

"dp" -^^ ~~dq "^'

dx-^p^dz dy -^q^dz

=r'i> ,- — Vi»

dpx dqi

on aura

^~-~Px[i-^-P^^q^)—p[\-^PPi^qqx)'

Si donc on fait

\'\-pp^-^qqx

^li-^p--\-q*)/i-^p]^q\

CHAPITUB X. igi

on aura

ÔY Qdq

ày__ Velp

dq ~ " ï'

dt\li M-/>î -^q\ (i -+-/?* -h ^')*

d'où

.^.^ap^--dq^Si-^] —- ^J ^;

y!i^p\-^q\[\-^P*"^q^) dl on aura évidemment aussi

^ l -h p^ -i- q\l -i- p] -i- q]) dt

et, en ajoutant,

, i dpdq-\ ^î^^ — ^ dp^ dqi

dv= i^p'-^ 7* ^ ^ T-4 /?;-f-7^ .

On voit, par cette formule, que si deux des quantités

dV, Q-P, Qi-Pi

sont nulles, la troisième est nulle aussi ; ce qui est précisément la proposition que nous voulions établir.

De la surface dont tous les points sont des ombilics..

329. Si l'on désigne par X, Y, Z les cosinus des angles que fait avec trois axes rectangulaires la normale d'une surface, on a

Y. -/l V— IZ? 7 — 1

^l-i->y*-t-7* VI-T-/>*^-î' sji-^p^-^-q

d'où

dX ^pqs — fi-4-7')r ÔX pqt— [i-^ q^]s

ÔY pnr— f I -f- />' 1 5 dY pqs — '\\-\~p^]t

Les équations

^^ p* pfj I -T- ^*

qui déterminent (n°319) les ombilics des surfaces, équivalent donc aux suivantes :

lesquelles se réduisent à deux distinctes.

Il est facile de démontrer, par ces formules, que la sphère est la seule surface dont chaque point soit un ombilic. En effet, pour une telle surface, les équations (i) ont lieu en chaque point; les deux premières expriment que le cosinus X est indépendant Aey et que Y est indépendant de x\ en d'autres termes, X est fonction de x

seule, Y de j^ seule; en outre, les dérivées t- ^^ if ^tant égales, leur valeur est nécessairement une constante - j

dX dY

on a donc

dY I dr "" a'

par conséquent, X et Y ont des valeurs de la forme