CHAPITRE X

Xo et^o étant des constantes; le cosinus Z sera dès lors

Maintenant) les valeurs àe p et a étant -^- > -— > la

formule dz^=pdz-\- q dy devient

(2) a«= — -^zz.'

v^rt« — ^x — ^0/— \y —Xo}*

Le second membre de cette formule est la différentielle

totale de y/a» — ^^ — ^^j2 — (^j jjjj2j on a donc, en désignant par zq une nouvelle constante,

ce qui est bieu l'équation de la sphère.

Des systèmes triples de sur/aces orthogonales,

330. Désignons par x, y y z des coordonnées rectangulaires, par jo, \ky y trois paramètres variables psLrffJ], /s des fonctions données. Chacune des équations

(i) p— /(^,^,z), fA=/j(ar,j-, «), v=/j(^,^, z)

représentera une famille de surfaces, et ces trois familles constitueront un système triple de surfaces. Si Toii imagine que les équations (i) soient résolues par rapport à x, y, Zj de manière que l'on ait

[2) x=:F(p,fi,v), r = Fi(p, ^. v), «=F,(p,f*,v;,

les divers points del'espace seront déterminés parles trois variables jo, /x, v, auxquelles on a donné le nom général de coordonnées curvilignes.

494 CALCUL DiFFéaEMTIEL.

Il importe de remarquer surtout le cas où les surfaces de chacune des trois familles qui composent le système triple sont coupées à angle droit par toutes les surfaces des deux autres familles. Un tel système est dit orthogonal.

Posons

les normales des trois surfaces au point (jtr, j^, z) forment avec les axes coordonnés des angles qui ont respectivement pour cosinus

I dp P ai'

I dp V dx'

î dp Vdl'

I da

î duL M dz^

I dv

ï dv

N dx'

^ dx'

par conséquent, les conditions nécessaires et sufBsantes pour qu'un système triple de surfaces soit orthogonal sont

dx dx dz dz ' , , » , VM »y» dû dv do dv

(4) <,/- + 5^àr'-â:d-=°'

dft dv du. dv dr dr dz dz

331 . On peut éliminer deux des fonctions p, jùi, v entre les équations (4) et celles qu'on en déduit parla dififérentiation ; le résultat de cette élimination est une équation aux dérivées partielles du troisième ordre. Voici comment