CHAPITRE X

on peut établir cet important théorème, dû à M. Ossian Bonnet. Les deux dernières équations (4) donnent

' ()v dp d[L dp dft

djr. ôf dz dz dx

^ -' ^ dy dz ôx â.r dz

dv dp d[t dp d[L \ dz dx dx dx dx

MP formules où K a la valeur -=t- • Il est évident d'ailleurs

que, si Ton ajoute les trois quantités

dz dx

âx dz

dx dx

après les avoir multipliées respectivement par— > ;^-> t->

on obtiendra une somme nulle ; on a donc, par les formules (5),

dy\

dri

[d [dp dii dp dii\ d /dp dpi dp ^f*\"|

dz \dz dx dx dz) dx\dx dx dx dx) J

dv r d /dp dfjL dp dfA ô /dp dfi dp dfi\"{

dx[dx\dxdx dx dx) dz \dx dz dz dx) \

dvV d /dp dfi dp dfx\ d /dp dp^ dp ^f*\~|

àz [dx \dx àz dz dx) dx\dz dx dx dz ) j

Si Ton efTectue les dififérentiations et qu'on ajoute à

réquation obtenue les deux dernières équations (4) multipliées respectivement par

d^lJL d*/A d^ii il viendra

) ®* \dr« "*" àr* "*■ ôz* }

c)v fdp ô^ii dp d^fjL dp d'fA dfjL d^ p dii d^p dfi d^p~\ d.r\ d-r dx* dj ôxdf dzdxdz dx dx* df dxdy dz dxdz\

\ Of\dxd.rdj

dp d*ii dp d*ii d[t. d*p d*p d/* df* ^*p'^ df dy^ dzdydz dxdxdjr dy* dy dz dydz\

d-^iVdp d*u dp d*fi dp d*pt dy r)'p

* dx dxdz dydydz dz dz* \

dz\^d.r dxdz dydydz dz dz

On peut chasser de cette équation les dérivées du second ordre de la fonction /x. On a, en effet, en différentiant la première des équations (4) par rapport à chacune des variables x, y, Zj

dp d*yL ^ dp d*[». ^ dp d*\L d/x d*p dpi d^p dfi d*p

dzdxdz dx dx* dy dxdy dzdxdz

dp d*iJL dpi d*p dfi d*p du. d*p

dzâydz dxdxdy dy dy* dz dy dz

dp d*[L dpi d*p dpi d*p dpi d*p

dx dxdz ' dy dydz ' dz dz* dx dxdz dy dydz dz dz*

Au moyen de ces formules et des formules (5), qui permettent d'éliminer les dérivées de v, Téquation (6) devient

(^ ^ ^ ^\ (^ ^ u. ^^ —t. ^ <^V \ \dy dz dz dy) \dx- dx* dy dxdy dz dxdz)

^' ^ j \dz dx dx dz) \dx dxdy dy dy* dz dydz)

f ^/dp àp. ^dp^ dji\ /dp. d*p dp. d*p dji à*^\

[ ~^ \di dy dy dx) \dx dxdz '^ dy dydz'^ dz d^ ) ~^'

dx*

dy dxdy

dp d*p.

dx dr dy

d*pi dy'

d*pi

cïUPiTnn X.

ôz

,,ôti â'jL ^,ô^ ou, ^.d'j. ô'x ôj ôz ' ôz ÔJC ' ôx ôx '

en faisant, pour abréger,

dp d^p

ôz Ô.r ÔX

dp d^p

dx d.i:ÔZ^

dp d^p d.r 7) y ôz

ôp OU ôz ôyôjc

dp d^p ôp ô'p

dx ô.r ÔZ Ô.r ÔX Oz

ôp (d^p dU\ (dp d^ (1,0 ôU \

~d.r [oy Ôj'J \ÔX d.rOx ~ ô's O'-rô":]

^, f)o nv p ô'pX , /ôp jPp ■ ôp ô^pj\

ôx \ÔX^ ÔZ-J JJZ ôx Oz ô.r O-rô) J

, do [du d'p\ fôp d'p ' dp OU

ÔZ \dj* dJL'^J \0j!: ô.r ôz Ôx dj Ôz

Nous avons donc deux équations qui ne renferment pas

la fonction v et qui ne contiennent que les dérivées du

premier ordre de fz, savoir la première équation (4) et

Téquation (8). Ces deux équations sont homogènes par

, , . , ôf/. d;x dy. ,

rapport aux dérivées ? -j- ' t: 5 ^^ pourra donc en

tirer les rapports de deux de ces dérivées à la troisième, en sorte que Ton aura

ÔY

ôz

^\,, iP.,, C étant des fonctions connues des dérivées du premier et du deuxième ordre de la fonction p. On aura,

s. — Caîc, dijf. Sa

49^ CALCUL DIFFÉEEIÏTIEL.

d'après cela,

(.0) n-t?^=.t, nf-=-^, nf

dx dy ôz

L'élimination de u peut se faire par le procédé employé plus haut à l'égard de v. Si l'on ajoute les trois quantités

dz dy

dx dz

dy ô.r

après les avoir multipliées respectivement par

àfi ôii ôfi dx dy dz

on obtiendra une somme identiquement nulle, et par conséquent on a, par les équations (lo),

, , /dift) ^3\ „ fde dX\ ^ (dx dtft)\

Cette équation (ii) ne renferme que les dérivées du premier, du deuxième et du troisième ordre de la fonction p. On a ainsi ce théorème :

Thiî:orème. — Pour que l'équation p^=f{x,jyz) puisse représenter l'une des familles d'un système triple orthogonal, il /aut que la/onction p satisfasse à une certaine équation aux déri^fées partielles du troisième ordre.

332. Supposons qu'on prenne pour variables indépendantes les paramètres p, pL, v d'un système triple ortho-

CnAPITRE X. 499

gonal; les dérivées partielles de x, y^ z, relatives à p, yL, V, s'obtiendront très-aisément en fonction des dérivées partielles de p, /x, v, relatives à a:,j', z. EITectivement; si dans la formule

dx , d.r â.r ,

dx z— —- dp-\ — — auL-h- ~- av dp ^ dpi '^ dv

on remplace dp, diiy dv parleurs valeurs

dx dy ^ dz '

il viendra,

en égalant de

i part

d'autre les coefiicients

de dx,

dy.

dz,

di.

dx'

dx dp dp df

d.r du.

dft dy

djc

dp dz

dv dz

Ajoutons ces équations, après les avoir multipliées res-

dû dp dp . du du du

pcctivement par-^-i -—-9 ^'-5 puis par -p» -p, -^5 puis

enfin par -r-» -y-» -t-> il viendra, à cause des formules (3) et (4),

^ ' dx dp dx dpi dx dv

On trouve de la même manière

àp

dp.

àp dz~

dy. dz ~

dp.

dv dz

et de

ces formules combinées avec

les formules (3) et

on tire

I /dr\« /dy\* ,Ozy

, -,. ri OJcx' I oy\ " ( oz \'

I ÔT dx âr dr âz Oz

Op dfjL ' dp ô[L dp ô[L

, ,, dr à.r. dr ày dz dz

d.r dr dy dy dz dz \ d}j. dv ' d\i. dv d\L d^

333. Les équations (i5) et (16) expriment simplement les relations qui existent entre les cosinus des angles formés avec les axes par trois directions rectangulaires, et Ton peut en conclure, par la difTérentiation, un grand nombre d'autres relations qui expriment autant de propriétés des systèmes orthogonaux. Cette analyse n'offre aucune difficulté, et elle conduit à des résultats importants; mais, pour ne pas sortir des limites que je me suis fixées, je me bornerai à établir ici les formules qui expriment les dérivées

dp dy. dp d'j dpi Jv

en fonction des dérivées du premier ordre des variables j:, j-, z et des quantités P, M, N.

A cet effet, différentions la première équation (i 5) par rapport à [Xy et la deuxième par rapport à p\ on aura

djc d'.r dy d\r ds d^z i^ dJogP

dp dp du. dp dp dp. dp dp dy. P* dy

ÔJr d^r ^ dy d\r . '}^ J^- •.. J ^^n^ , dy dp dy ' dy dp .dy ' dy fh dy M* dp

chapithe X. Soi

Dîfféren lions ensuite les équations (i6) par rapport à V, /ix, p respectivement; ajoutons les deux dernières équations obtenues et retranchons la première, on aura

dr d*.r dr d^r dz d^z à» dp d}L dv dp dpi dv dp d^i

Maintenant, si Ton ajoute les trois équations précédentes

après les avoir multipliées respectivement par -* ? — »

d.T . dy ÔY dr . n àz dz dz

-r-5 puis par --î --5 ~, puis enlin par -r-? ,-: r-» dv * ^ dp d[L dv ^ '^ dp dpi dv

il viendra, en ayant égard aux formules (i5) et (i6),

d*x dp dpi

d]o^P djr.

dp. dp

dloi^'M d.r dp dpi

d^r dp dpi

d loi; p dr dp. dp

d lo^ M dr dp dp-

dlogP dz

d lop;^î dz

dp dp. dp. dp dp dp.

Ces formules (17) donnent, par des changements de lettres, les valeurs des six autres dérivées

dpdv'

dp dv '

dpd'j

d^r dpidy

d\r dpidv

dp. dv

Théorème de Dupin sur les sur/aces orthogonales.