On doit à Charles Dupin, le beau théorème suivant
Théorème. — Dans tout système triple orthogonal, chacune des surfaces qui composent l'une des familles est coupée suivant ces lignes de courbure par les diverses surfaces des deux autres familles.
5o2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
La démonstration de ce théorème est contenue dans les équations (17) du numéro précédent. Effectivement, ces équations peuvent être renfermées dans une même formule, savoir :
afp?f) dfp?r\ d(p
ôj) ±±
dii dji __ ôii V dM
djti ôy dz M dp
d/Ji dfx d/Ji
Considérons Tintersection C de deux surfaces appartenant aux deux familles pour lesquelles on arespectivemeui
p = const. , V = coQSt. ;
les dérivées 7-' -p' ;p sont proportionnelles aux cosinus des angles que fait avec les axes la tangente de la
courbe C; d'un autre côté, les quantités P— 9 ^T"' ^TT*
\ dp i dû \ dp , . j ,
ou - T- 5 7: -7-5 r. -7-5 sont les cosinus des angles que V ox )^ ôy ^ ôz o -i
fait avec les axes la normale à la surface p^ et leurs différentielles
relatives à un déplacement sur la courbe C, sont proportionnelles, d'après notre formule, aux cosinus des angles qui se rapportent à la tangente de C. Or cette proportionnalité est précisément la condition pour que C soit ligne de courbure de la surface p (n^ 325) ; le théorème de Dupin se trouve donc établi.
CnAPlTRE X.
Des systèmes triples de surfaces orthogonales
du deuxième degré,
335. Parmi les systèmes triples de surfaces orthogonales, il faut remarquer surtout celui qui est formé de surfaces du deuxième degré homofocales. Les équations de ces surfaces sont
i et c étant des lignes données ; nous supposerons i <[ c.
Si Ton donne au paramètre p^ des valeurs supérieures à c^, au paramètre [i^ des valeurs comprises entre b^ et c^; enfin au paramètre v^ des valeurs inférieures à i^, la première des équations précédentes représentera des ellipsoïdes, la deuxième des hyperboloïdes à une nappe, et la troisième des hyperboloïdes à deux nappes. Toutes les surfaces du système sont concentriques et leurs sections principales ont les mêmes foyers ; aussi dit-on que les surfaces sont homofocales,
Les équations (i) étant du premier degré par rapport àx2,j2, z'^j il est facile de les résoudre, et l'on arrive rapidement au résultat en opérant comme il suit : si Ton ordonne par rapport aux puissances de p^ la première des équations (i), il vient
Comme les deux dernières équations (i) se déduisent de
5o4 CALCUL DIFFÉIIENTIEL.
la première, par le changement de p^ en p.^ et en v^, Tcqualion (2), qui est du troisième degré en p'-*, admet les trois racines p-, u.^, v^; on a donc
/ p' -i- ti'^ + V* =- .r* ~\- j'^ 4- z"^ -l- 0^ -r r*, ( 3 ) I p' p.' -!- pi« V» H- p» v« r= ^»* c« -1- ;7>* H- c«) .r^ -I- c'.v- -1- ^>'' 2" , ( p'-pi«y*=^*c«.r«.
La dernière équation (3) donne la valeur de x^] or les équations (i) ne changent pas quand on permute les lettres X et y, pourvu qu'on remplace ensuite b^ et c^ par i2eic2 — i2^ puis p^ fJL2, v2 par, o2 i2^ f^2 — iS v^ — ^2. igg mêmes équations ne changent pas quand on permute x^ et z^, pourvu qu'on remplace b^ et c- pai — (c2— i2) et — cS cS fx2, v2 parp2 c2,u2— c2, v2— c2 ;
on peut donc faire les mc^mes changements dans les équations (3), et la dernière équation de ce système donnera
On a
ainsi
Les quantités V, y/ia — v^, y/^^—b^ et y/c-* — f/.^ passant
par zéro, il faut admettre qu'elles changent de signe, et
cela est nécessaire pour que les formules (5) puissent
donner tous les points de l'espace . On évitera la diflîcultc
. qui peut résulter de l'ambiguïté des signes en introduisant
ciîAPiTaE X. 5o5
deux angles ij; et y tels, que Ton ait
