V-- b cos]/, y'^- — y* = h sin -J

On tire des équations (5)

ôl

bc'

dy __ — V v/o2 — ^ï'y u» — //* a« — V v''o« — r2 y/r'^ — p«

et Ton vérifie immédiatement par ces formules que les équations (i) ou (5) appartiennent effectivement à un système triple orthogonal.

336. Les équations ( i ) ne cesseront pas de représenter un système triple orthogonal, si Ton y reny)lacea:, j, z, ,

TC Y Z ù

p par -r-5 -î -5 e étant une constante. Si, après la sub-

stitution, on fait e = o, les équations (i) deviendront

(G) { p* fA«- ^»2 C« — fz'

ce nouveau système est formé d'une famille de sphères concentriques et de deux familles de cônes du second dogré, ayantleur sommet au centre des sphères. En faisant, dans les formules (5), la même substitution que dans les

5o6 CALCUL DlFFÉaEMTICL.

Ibniiules (i), il vient

O'JtV

vV« -

337. Remplaçons dans la première équation (i)x par X — i, ce qui revient à transporter l'origine des coordonnées à Tun des foyers communs des sections principales relatives au plan xy; écrivons en même temps c H- Ij au lieu de c, et p 4- i au lieu de p, il viendra

(j* -t- û)* ^(jT-J-p) r* z* — i • - ^ ^J i . . -J ^ =: o-

et, si l'on fait tendre b vers l'infini, cette équation se réduira à la limite, à la suivante :

En opérant de même sur les deux dernières équations ( i), on obtiendra des équations limites qui se déduiront de la précédente, par le changement de p en /x et en v. On formera ainsi un nouveau système triple de surfaces orthogonales et homofocales, savoir :

CHiPITRB X. 507

La longueur constante c étant positive, si Ton donne à /9 des valeurs comprises entre c et -+- 00 , la première des équations (8) représentera des paraboloïdes elliptiques; en donnant à (x des valeurs comprises entre zéro et Cy on obtiendra, par la deuxième équation, des paraboloïdes hyperboliques; enfin la troisième équation donnera une nouvelle famille de paraboloïdes elliptiques, si l'on attribue à v des valeurs négatives quelconques.

Les deux dernières équations (8) se déduisent dé la première en remplaçant p par /x, puis par v ; en ordonnant cette équation par rapport à p, elle devient

/>' — c — x] p* — ( • — -y y- cxjp-h - ,- == o ;

on a donc

pfj^ -{- ftv -h pv - — . l / — -^c.r^ î

, pp-=-x'

et Ton lire de là

il est aisé de vérifier, au moyen de ces formules, que le système triple dont nous nous occupons est cffectivement orthogonal.

Des lignes de coiwbure de V ellipsoïde.