Considérons Tellipsoïde représenté par Téquation

5o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et dont les demi-axes p, y/o^ — Z>*-, yjp- — c^ ont des valeurs déterminées. Nous connaissons, par le théorème de Dupin, les lignes de courbure de cette surface. Effectivement, si [x^ est un paramètre variable compris entre è^ et c^^ jgg hyperboloïdes à une nappe, représentés par Téquation

^ ^ ^ TI« "^ 7^ Âï jrzTTî — ' '

détermineront sur rellipsoïde un premier système de lignes de courbure; pareillement, v^ étant un paramètre* variable inférieur à i^, les lignes de la seconde courbure seront les intersections de l'ellipsoïde et des hyperboloïdes à deux nappes représentés par l'équation

ar> r» z»

On obtiendra les équations des projections des lignes de courbure sur les plans principaux de la surface en éliminant successivement z^jj^j x^ entre l'équation /i) et chacune des équations (2), (3). On trouve ainsi, pour le premier système,

et, pour le second système,

pS* (pî^2)(^«-v1

[pi-^2j^Z,8„V«) (p2 c-*^ic2-V^)