CHAPITRE X. 5oy

Les lignes de courbure des deux systèmes se projettent donc suivant des ellipses sur le plan jcz qui est celui du grand axe et du petit axe ; sur les plans xy cl yz qui contiennent l'axe moyen de Tellipsoïde avec le grand axe ou le petit axe, les lignes de Tune des courbures se projettent encore suivant des ellipses, mais les lignes de Tautre courbure ont pour projections des hyperboles.

339. Monge a indiqué une construction très-simple pour obtenir les projections des lignes de courbure de Tellipsoïde sur l'un des plans principaux. Considérons, par exemple, les projections sur le plan xj qui est celui du grand axe et de Taxe moyen. Désignons par a'i elj i les longueurs des demi-axes de Tellipse suivant laquelle se projette une ligne de courbure du premier système, on aura, d'après les équations (4\

d'où, par l'élimination de /:*,

Si les lettres X| et jt représentaient les demi-axes dj l'hyperbole suivant laquelle se projette une ligne du second système sur le plan ay, on aurait de même, parles équations ^^5),

J » -i tri. ^ J

d'où, par l'élimination de v.

c'^x^ ic*'—h'-)r^

W , 1 1 /,2 -i II ^^

Regardons X| et j i couime des coordonnées ; les équa-

5lO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

lions (6) et (7) appartiendront à une ïiyperbole et à une ellipse qui a même centre que Tellipsoïde et dont les axe«v coïncident en direction avec les axes des projections des lignes de courbure. Monge a nommé ces courbes hyperhole auxiliaire et ellipse auxiliaire. Si on les suppose construites et qu'on prenne les coordonnées de chaque point de la première pour les demi-axes d^une série d'ellipses^ les coordonnées de chaque point de la seconde pour les demi-axes d'une série d'hyperboles, on aura les projections des lignes de Tune et de l'autre courbure.

Si l'on faitj'i = 0, les équations (6) et (7) s'accordent à donner

or ces abscisses sont celles qui conviennent aux ombilics (n^321) ; donc les sommets communs de l'hyperbole auxiliaire et de l'ellipse auxiliaire sont précisément les projections des ombilics sur le plan xj\ en outre, ces sommets sont toujours à l'intérieur de la section principale,

car, b étant inférieur à c, par hypothèse, la quantité -^

est moindre que le demi-grand axe p de l'ellipsoïde.

Lorsque ix^r= b^^ l'ellipse, projection des lignes de la première courbure, a pour grand axe l'axe commun de l'hyperbole auxiliaire et de l'ellipse auxiliaire, et son petit axe est nul ; cette ellipse se confond ainsi avec l'axe des X, et il en résulte que l'ellipse principale située dans le plan xz est une ligne de courbure de l'ellipsoïde. Quand [x'^ croît de i^ à c^, les deux axes de l'ellipse augmentent; pour/x2 = c^, cette ellipse se confond avec l'ellipse principale située dans le plan xy, laquelle est ainsi une ligne de courbure de l'ellipsoïde. La variable fx^ ne devant pas avoir de valeurs supérieures àc^, l'hyperbole auxiliaire doit être limitée aux points où elle est rencon-

CriAPlTP.E X. 5l 1

trée par les tangentes menées à Tellipse principale, parallèlement aux axes.

Passons aux lignes de la seconde courbure. Quand vest égal à i^, Thyperbole projection des lignes de courbure a pour axe Iransverse Taxe commun de Thyperbolc auxiliaire et de l'ellipse auxiliaire ; Taxe non transversc est nul et la courbe se réduit aux portions de ligne droite comprises entre les projections des ombilics et Tellipse principale. Quand v* décroît depuis sa valeur maxinia b^ jusqu'à zéro, l'axe transverse diminue et Taxe non transverse augmente ; le premier axe est nul pour v^:^ o, rhyperbole se réduit alors à Taxe des jy et il s'ensuit que la troisième section principale de l'ellipsoïde située dans le plan jz est encore une ligne de courbure.

Toutes les ellipses et les hyperboles dont nous nous occupons tournent leurs concavités vers les deux points où se projettent les ombilics. Les lignes de courbure sont pliées autour de ces quatre ombilics, les unes d'un côté, les autres du côté opposé; elles se resserrent toujours à mesure qu'elles s'en approchent, et quand elles les atteignent elles se confondent avec l'ellipse principale qui les contient.

340. Toutes les lignes de courbure de l'ellipsoïde ont pour projections des ellipses sur le plan du plus grand axe et du plus petit ^ pour construire ces projections, il suffit ici d'employer une seule ellipse auxiliaire. Désignons, en effet, par x^ et z^ les demi-axes de l'une des ellipses projections des lignes de courbure, on aura

ou

JI2 CALCUL DIFFÉREJVTIF.L.

rulimination de fi^ ou de v^ donne

équation d'une ellipse qui pourra élre employée pour la construction des projections des lignes de Tune et de Tau Ire courbure. Pour les lignes de la première courburC; on aura

ft* > 6', d'où x, > p, 2, < v/p* et, pour celles de la seconde courbure,

' . ^ 6* , d'où JTj < p, z, > ^'p' - c*.

Il suffit pour notre objet de considérer le quadrant de Tcllipsc auxiliaire, situé dans Tanglc des jc et des z positives ; alors on voit que la droite jti = p, qui est tangenlc à Tellipse principale, divisera le quadrant de Tellipso auxiliaire en deux parties, dont Tune répondra aux lignerde la première courbure, Tautre aux lignes delà seconde courbure.

Les coordonnées des sommets de Tellipse auxiliaire sont

les droites qui joignent ces sommets deux à deuxformcii» un losange dont les cotés ont pour équation

Si Ton élimine x entre Téquation (9) et celle dc: projections des lignes de courbure, savoir ;

rr ip -^ J^^--p'