CHAPITRE X. 5l

on trouvera

cette équation ayant ses deux racines égales, on en conclut que les projections de toutes les lignes de courbure sont tangentes à chacun des quatre côtés du losange; elles sont donc inscrites dans ce losange. Il résulte de là que les ombilics sont les quatre points où les côtés du même losange touchent Tellipse principale situ4e dans le plan xz ; car nous avons vu que cette ellipse principale est une ligne de courbure, et elle contient d'ailleurs les ombilics.

341 . Pour former Téquatlon différentielle des projections des lignes de courbure de l'ellipsoïde, conformément à la méthode du n"* 322, il suffira de calculer les quantités p, 9, /*, s, £, d'après Téquation

jr* r' 2*

de la surface, et de substituer les valeurs trouvées dans Téquation (6) du numéro cité. Nous avons déjà fait une partie de ce calcul au n^ 321 et nous avons trouvé

puis

X pz X 72

SZ i-JJq ^^ 0.

S. — Caie. diff, 33

5l4 CALCDL DIFFÉRRWTIFT,.

On tire de là

z[pqf — (i-k-p^)s]=z-~pq,

substituant.ces expressions dans Téquation (6) du n^ 322, et remettant ensuite , au lieu de ^ et ^, leurs valeurs en X Qt y, on aura Téquation demandée, savoir :

où nous avons fait, pour abréger,

On verra, dans le Calcul intégral, comment on revient de cette équation différentielle à Téquation

entre les seules coordonnées, équation qui nous a été fournie immédiatement par la propriété générale des systèmes de surfaces orthogonales ; il est facile de vérifier que Téquation (lo) résulte de Télimination de /x* entre l'équation (i i) et celle qu'on en déduit par la différentiation relative à x elky.

Des lignes de niveau et des lignes déplus grande pente.

342. Une surface étant rapportée à trois plans coordonnés rectangulaires dont Tun, celui des xj^ est supposé horizontal, on nomme lignes de niveau les sections horizontales de la surface.