CHAPITRE X. 5l

Pour toute ligne de niveau, on a

dz=zo, on, à cause de dz = pdx -f- ^dy,

dy p

Celte équation exprime qu'en chaque point d^une ligne de niveau la tangente est parallèle à la trace horizontale du plan langent à la surface, au même poinl. Ce plan a effectivement pour équation

et le coefficient d'inclinaison de sa trace horizontale est bien égal à — -•

Si Ton porte la valeur précédente de — dans Téqua-

tîon (6) du n** 322 qui détermine les lignes de courbure, il viendra

telle est V équation aux dérivées partielles du deuxième ordre qui appartient aux surfaces pour lesquelles les lignes de niveau sont des lignes de courbure.

On arrive à un résultat plus simple quand on prend pour plan horizontal le plan des zx\ alors on a, pour

les lignes de niveau, y- = o, et, en faisant cette hypothèse

dans Téquation des lignes de courbure, celle-ci devient

!-+-/>* pq

Pour les surfaces qui satisfont à celle équation, l'une des conditions des ombilics est satisfaite d'elle-même; ces points sont donc alors donnés par une seule équa-

5l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

tion, et la surface admet par conséquent une ligne ombilicale.

343. On nomme ligne de plus grande pente d'une surface une ligne tracée sur la surface et qui a pour tangente en chaque point celle des tangentes de la surface qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal Il est évident que la tangente en un point d'ui^e ligne de plus grande pente est elle-même ligne de plus grande pente relativement au plan tangent de la surface ; par conséquent; elle est perpendiculaire à la trace horizontale de ce plan tangent.

La surface étant rapportée à trois axes rectangulaires dont Tun, celui des z, est vertical, la trace horizontale

du plan tangent aura pour coefficient d'inclinaison — -9

en faisant, comme à l'ordinaire, dz =pdx'i-qdj; l'équation différentielle des lignes de plus grande pente est donc

dx p'*

les dérivées q et p sont données en fonction de j: et j' par l'équation de la surface.

Si, par un point d'une surface, on mène une ligne de niveau et une ligne de plus grande pente, il est évident que les tangentes à ces deux lignes seront perpendiculaires, puisqu'elles sont, l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à la trace du plan tangent de la surface. Il résulte de là que les lignes de niveau et les lignes de plus grande pente forment sur la surface un système double de courbes orthogonales.

D'après cela, lorsque les lignes de niveau d'une surface sont des lignes de courbure, les lignes de plus grande pente constituent le deuxième système de lignes de cour-