X -h nzp=zo, mjr -^^ nzq = 0, d'où

L'équation différentielle des lignes de plus grande pente est donc

-r- = — ou m — = o.

ojc X y X

Le premier membre de cette équation est la différen* tielle de

log j — m logar ou log -^ ;

le quotient -^ est donc égal à une constante c, et Ton a

^1= cx^

pour l'équation des projections horizontales des lignes de plus grande pente de l'ellipsoïde.

Des surfaces réglées; leur distinction en surfaces développables et en surfaces gauches,

345. Nous nous proposons, dans ce qui va suivre, d*ctudier diverses classes de surfaces et de faire connaître

Ol8 ' CA.LCUL DIFFÉUEKTIEL.

les équations aux dérivées partielles par lesquelles on peut représenter toutes les surfaces d'une même classe.

Parmi les surfaces dont nous allons nous occuper, il faut remarquer surtout les surfaces réglées, c'est-à-dire celles qui sont engendrées par une droite mobile. Cette classe des surfaces réglées se' subdivise en deux genres très-distincts qui comprennent, l'un les surfaces que nous avons nommées dév^eloppables, l'autre les surfaces gauches.

Désignons par x, jy z des coordonnées rectilignes et soient a, i, a, [3 des fonctions d'un paramètre variable; les équations de la génératrice d'une surface

réglée quelconque seront

(l) .rj=rt3H-a, y ^=z bz-^^.

Il est évident qu'on peut prendre pour le paramètre variable l'une quelconque des quantités a, b, a, 6, à moins qu'elle ne se réduise à une constante ; il n'y a donc en réalité que trois fonctions arbitraires, dans le cas le plus général.

Cherchons d'abord la condition pour que la droite (i) engendre une surface développable. Comme une surface développable est l'enveloppe d'un plan mobile qui contient la génératrice, l'équation de ce plan mobile sera

[i) [jc — az — a] -h 0[x — bz — ^) ^^ o>

Q étant une certaine fonction du paramètre dont dépendent a, i, a, S; en diflférentiant cette équation (a) par rapport au paramètre, il vient

(3) — {zila-hdu] — e{zdb -hd^] -{- dO{x — bz -- €) z= o,

et, pour que notre surface soit développable, il faut et il suffit que le système des équations (2) et (3) représente la même droite que le système des équations (i). L'équa-