CHAPITRE X

tîon (2) est vérifiée par les équations (i), et, pour que TéquatioD (3) le soit aussi, il faut que Ton ait

[zda -+- du] -+- Q[zdb -h dt] =r. o, quel que soit z. Cela donne les deux conditions

d'où, par l'élimination de 9,

(4) dad€ — dbda=o.

Telle est Téquation qui exprime la condition d'une surface développable ; le raisonnement qui nous y a conduit est le même que celui dont nous avons fait usage pour déterminer les lignes de courbure des surfaces. Lorsque la condition (4) n'est pas satisfaite, la droite mobile représentée par les équations (i) engendre une surface gauche.

346. Désignons par d le paramètre dont dépendent a, ft, a, 6, et considérons les deux génératrices qui répondent aux valeurs 0, 9 -i- AO du paramètre ; les équations de ces génératrices seront

^ sr = az^ a, i a: = (« 4- Afl)3 H- (« -f- Aa),

\ y=zbz-\-€, \ jr=^'^l,^^(,)z-h (e-f-AS).

Soient D la plus courte distancé de ces deux Uioites et I Tangle qu'elles font entre elles; on aura, par les formules connues,

A^A6 — A^Aa

±- \/la- H- A//* -h i« A^ — b Aa)

Sin/ rzr — -:-= — —

V'fl*-|- b^-i-l\[a -h A«/-h [b H- Aby^ -^ i

d'où

D , sin/ i—z, r: n — ' r: 7i i—i

A^ A6 a// Aa Â^' A^ ^ Â9 Âë

A©; «v Aô aô;

Si Ton fait tendre A0 vers zéro et qu'on passe aux limites, la formule précédente deviendra, après la suppression du diviseur commun rf0*,

6 hm - ==+: a«+fr«H-i -— ^-— — -r^,

' z - ^ da^ -+■ db^ -r \adb — bday

et, lorsque la condition (4) n'est pas remplie, le second membre de cette formule a une valeur finie diOérente de zéro. On conclut de là le théorème suivant :

Théokème I. — Dans une surface gauche, la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines et l'angle de ces mêmes génératrices sont des infiniment petits du même ordre,

347. Dans le cas des surfaces développables, les cylindres exceptés, le rapport— tend vers la limite zéro et

par conséquent la distance D est un infiniment petit d'ordre supérieure i, relativement à i ; il importe d'évaluer cet ordre infinitésimal. Mais, comme les génératrices d'une surface développable sont tangentes à une même courbe qui est l'arête de rebroussement de la surface, il convient d'introduire les quantités relatives à cette arête. Désignons donc par x, y, z les coordonnées rectangulaires de l'arête et par a, 6, y les angles que fait sa tangente avec les axes, les équations de cette tangente seront

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