TR

On a ainsi ce théorème :

Théouème II. — Le rapport de la plus courte distance d'une tangente donnée d'une courbe quelconque et d'une deuxième tangente infiniment voisine, au cube de l'arc compris entre les points de contact, a pour limite la douzième partie du produit des deux courbures à l'origine de l'arc.

Il faut remarquer que l'ordre infinitésimal de D ne peut jamais s'élever au-dessus du troisième ; car le terme de cet ordre ne disparaît de la formule (3) que si rfr = o, et alors, la courbe étant plane, pn a rigoureusement D = o; de là ce théorème dû à M. Bouquet :

Théorème III. —r- Etant donné un système de droites dont les équations contiennent un paramètre variable, la plus courte distance de deux droites infiniment voisines ne peut pas être d'un ordre infinitésimal supérieur à 3, relativement à l'angle des mêmes droites, à moins quelle ne se réduise rigoureusement à zéro.

Des surfaces cylindriques. — Equation aux dérivées

partielles de ces surfaces.

348. Le cas le plus simple des surfaces développables est celui des surfaces cylindriques. Le plan mobile qui

6'a4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

est enveloppé par la surface, et qui n'est autre que son plan tangent, est parallèle à une droite fixe donnée ; cette considération permet de former immédiatement Téquation aux dérivées partielles de la surface. Car soient

les équations de la parallèle aux génératrices menée par l'origine des coordonnées rectilignes, et

Téquation du plan tangent au point [x, y^ z) de la surface. La condition pour que ce plan soit parallèle à la droite est

c'est Téquation aux dérivées partielles qui appartient à toutes les surfaces cylindriques.

On peut aussi déduire Téqualion (i) de Téquation entre les coordonnées qui appartient aux surfaces cylindriques. Supposons qiie les équations

représentent une génératrice de la surface ; a et 6 dépendent d'un même paramètre et, par conséquent, ces quantités sont liées entre elles par une équation

4> étant une fonction arbitraire. L'élimination de a et 6 entre les équations (a) et (3) donne

(4) ♦ (.r — az, ^ — bz) — o,

qui est l'équation générale des cylindres entre les coordonnées. Pour avoir l'équation aux dérivées partielles, il suffît d'éliminer la fonction 4> par la méthode du n° 82.