CHAPITRE X. SaD

En différentiant Téqualion (4) ou (3), d'abord par rapport à Xf puis par rapport à y, il vient

et rélimination du rapport -r- : -r^ conduit à l'équation (i).

On verra, dans le Calcul intégral, comment on peut revenir de l'équation aux dérivées partielles à Téquation entre les seules coordonnées.

Les surfaces cylindriques étant développables, leurs génératrices constituent un premier système de lignes de courbure (n** 327) 5 le deuxième système est évidemment formé par les sections droites de la surface.

Des surfaces coniques. — Equation aux dérivées partielles de ces surfaces.

3i9. Les surfj^ces coniques appariiennent aussi aM • genre des surfaces développables, le plan mobile qu'elles " enveloppent passe par un point fixe ; ce plan mobile est d'ailleurs le plan tangent de la surface; par conséquent, si l'on désigne par Xq, yot ^0 l^s coordonnées rectilignes du sommet, par x, j", z celles de la surface, et que l'on pose dz == pdx -h qdy, on aura» ^

Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces coniques.

Cette équation (i) peut aussi être obtenue au moyen

Saâ CALCUL DIFFÉBENTIEL.

de l'équation générale des surfaces coniques entre les ^ coordonnées. Soient

les équations de la génératrice. Les quantités aeib étant fonctions d'un même paramètre, elles sont liées entre elles par un.e équation

dont le premier membre est une fonction ai'bitraire; l'élimination de a et de b entre les équations (2) et (3) donne l'équation entre x, y, z qui appartient aux surfaces coniques, savoir :

DifFérentions l'équation (4) Ou (3) d'abord par rapport à X, puis par rapport à y y il viendra

l'élimination du rapport -.- : -r^ entre ces deux équa- '

tions conduit encore à l'équation (i) ; celte équation (i) a pour conséquence, à son tour, l'équation (4), ainsi qu'on le verra dans le Calcul intégral.

Les génératrices d'une surface conique constituent un premier système de lignes de courbure (n° 327); le deuxième système s'obtiendra évidemment en coupant la surface par des sphères ayant pour centre le sommet de la surface.

CHAFIT^ X. 5 37

V Des surfaces conoïdes. — Equation aux dérivées . ' , partielles de ces siu faces.

350. Les surfaces conoïdes appartiennent à la classe des surfaces réglées et au genre des surfaces gauches. Elles sont engendrées par une droite mobile qui rencontre constamment une droite fixe et qui reste parallèle à un plan fixe ; la droite fixe est nommée directrice, le plan fixe est le plan directeur; le paraboloïde hyperbolique est un conoïde.

Soient, relativement à trois axes quelconques,

les équations de la directrice donnée,

Ajp-f-Bj-*- Cz — o

celle du plan directeur, et

les équations de la génératrice de la surface. Cette génératrice rencontrant la directrice et étant parallèle au plan directeur, on aura

Ia — m b — n ce — Il ■"* 6 — v' Aa -t-B6 -+-C = 0;

les équation» (a) déterminent deux des quantités a, b, a, 6 en fonction des deux autres, et celles-ci sont liées entre elles par une équation arbitraire. Pour avoir Téquation aux dérivées partielles de la surface, il suffit d'exprimer que le plan tangent en un point [x, jy z) de la surface, plan dont Téquation est

5a8 CALCUL DIFFÉnEMTlEL.

renferme la génératrice, ou est parallèle à la droite X = aZ, Y = iZ; on obtient de cette manière

( 3 ) aj) -\- b(j =: i .

Si Ton élimine les quatre quantités a, b, a^ 6 entre les cinq équations ( i ), ( 2 ), ( 3 ), on obtiendra Téquation aux dérivées partielles demandée, savoir :

p[x—mz—iL]-{- q [x^nz^yt] mp -^ nq — i

^^' i __ A(x— mz — fz)-f-B(7— /ic — v)

"~" Am-4- B/i-hC *

Cette équation se simplifie lorsqu'on prend la droite directrice pour axe des z et le plan directeur pour plan des xy ; alors on a

et l'équation (4) se réduit à

(5) . px-^qy — o.

Dans ce cas, les paramètres a, i, a, 6 ont, dans les équations (i) de la génératrice, des valeurs finies ; cette génératrice étant parallèle au plan des xj et coupant Taxe des z, elle a des équations de la forme

(6) Z = h, jr — gr;

les constantes h et g sont liées Tune à l'autre par une équation arbitraire, et si l'on pose

(7) ^* = f[gh

l'élimination de A et de g^ entre les équations (6) et (7) donnera l'équation générale des conoïdes entre les coordonnées Xyjf z\ cette équation est