CHAPITRE X

et elle exprime que z est une fonction homogène du degré zéro, des abscisses x et y. Pour éliminer la fonction o, Il sufGt^onc d'appliquer le théorème des fonctions homogènes à la fonction z^ ce qui reproduit Téquation (5).

Des surfaces de révolution, — Equation aux déris^ées

partielles de ces sur/aces.

351. Dans toute surface de révolution, la normale en chaquepoint rencontre Taxe. Cette propriété permet de former immédiatement Téquation aux dérivées partielles des surfaces dont il s'agit; car soient, relativement à trois axes rectangulaires,

les équations de la normale au point {x,yy z), et

X = /nZ-hfx, Y = nZ-hv

celles de Taxe de la surface. En éliminant X, Y, Z entre les quatre équations précédentes, il vient

(1) [fj -{- n) {,v — mz -^ fj.) ^ (p -\- m] [jr ^ nz ^v) zrz o,

ce qui est l'équation aux dérivées partielles des surfaces de révolution.

On peut encore tirer cette équation de celle qui a lieu entre les coordonnées. Effectivement la surface est engendrée par un cercle dont le centre est situé sur l'axe et dont le plan reste perpendiculaire au même axe. On peut prendre, pour représenter ce cercle, les deux équations

dont la première appartient à une sphère variable qui a pour centre la trace de l'axe sur le plan xy, et la seconde à un plan mobile perpendiculaire à l'axe. Les

S. — 6Wc. diff, 34

53o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

quantités u et if sont liées par une équation arbitraire

qui devient Féquation des surfaces de révolution quand on remplace u et i^ par les valeurs tirées des équations (2). Si Ton différentie Téquation (3) par rapport k X et par rapport kjj on aura

rélimination de -r- et de -r- entre ces équations reproduit Téquation (i) que nous avons obtenue directement. Si Ton prend pour axe des z Taxe de la surface, on a m ^^ o, iJLz= Oj n = Of v= o, et l'équation aux dérivées partielles des surfaces de révolution se réduit à

(4) gr—pj^o;

en même temps, les équations (2) et (3) donnent Téqualion suivante entre les coordonnées :

(5) *(.r*-hj*, s) — o ou x'-i-r*- --2?(3),

^(z) étant une fonction arbitraire.

3o2. Dans les surfaces de révolution, les méridiens et les parallèles constituent les deux systèmes de lignes de courbure; effectivement les normales de la surface menées par les points d'un méridien sont contenues dans un même plan, et colles qui sont menées par les points d'un parallèle forment un cône de révolution. On peut, au surplus, vérifier ce fait au moyen de l'équalion générale

dp dq

dx -^ pdz djr -h q dz