CHAPITRE X. 53l

des lignes de courbure. On a effectivement par Téqua-

tion (4)

p q p dx -^ q dy dz

X y X dx -h j dy x dx -\- y dy et, à cause de l'équation (5), chacun des rapports qui figurent dans cette formule est égal à -77— r 5 on a donc

d'ot

Si Ton substitue les valeurs précédentes de p, q^ dp^ dq dans Féquation

dp dq

dx -\- pdz dy -\- q dz

des lignes de courbure, on obtient

\\-\-nf\z)'\dz[xdy-'ydx)^0\ cette équation se décompose en deux autres, savoir :

y dzz=io çX d - =^0;

on a donc, pour les lignes de Tune des courbures, z = const., et pour les lignes de l'autre courbure

- = const. ; ce qui démontre la proposition énoncée

De l'équation aux dérwées partielles des surfaces

développables*

3o3. Lorsque Téquation d'une famille de surfaces entre les coordonnées rectilignes x, j^ z et un paramètre variable a, savoir :

/[•^»rï s, a, y(a)] — o,

53a CALCUL différeutiel.

ne renferme qu'une seule fonction arbitraire ç(a) du paramètre, on peut éliminer la fonction arbitraire 9 des deux équations

qui appartient à Tenveloppe des surfaces proposées, et Ton obtient ainsi une équation aux dérivées partielles du premier ordre, laquelle convient à toutes les enveloppes qui ne diffèrent entre elles que par la nature de la fonction cp. Nous ne reprendrons pas ici le calcul que nous avons suffisamment développé au n°86, et, à l'égard du cas où l'équation proposée renfermerait plusieurs fonctions arbitraires du paramètre a, nous devons nous borner à indiquer ce qui concerne les surfaces développables.