CHAPITRE X
et de là il est aisé de conclure deux équations aux dérivées partielles du premier ordre qui conviennent à toutes les surfaces développables et qui ne renferment chacune qu'une seule fonction arbitraire. En effet, les équations (4) donnent d'abord, par l'élimination de a,
et, en portant dans l'équation (i) les valeurs de a et de 9 (a) tirées des équations (4)^ on obtient
(6) 2^px-\^qx^^l,[p),
Chacune des équations (5 ) et (6) renferme une seule fonction arbitraire ; ces équations sont celles que nous voulions obtenir. Il faut remarquer que l'équation
où V désigne une fonction arbitraire de p et y, n'a pas plus de généralité que l'équation (6), car, q étant une fonction de p, Y( jp, q) est elle-même une simple fonction arbitraire de p. On verra dans le Calcul intégral que, réciproquement, l'équation (5) ne peut donner que des surfaces développables ; il en est de même de l'équation (6) ou (7), avec une certaine restriction.
355. Maintenant, pour éliminer la fonction arbitraire qui reste dans chacune des équations (5), (6) ou (7), il faut introduire les dérivées partielles du deuxième ordre.
Considérons d'abord l'équation (5); en la différentiant totalement, il vient
ou
rdx-^sdx = <j^'{p) (sdx -h tdjr);
on tire de là
r--^s^/{p), t'^'[p]z=zs.
et, en multipliant, il vient
(8) rf— xV— o.
Telle est Téquation aux dérivées partielles du second ordre qui convient aux surfaces développables ; elle exprime, comme on voit, que l'un des rayons de courbure principaux est infini en chaque point de la surface.
Considérons main tenant l'équation (7), qui comprend l'équation (6), et différentions-la totalement, on aura
dz = [pdx -f- 7 r(r) -f- ^JT -4- ^ U/? -*- fr -H ^ j ^(7> ce qui, à cause de dz =pdx -h q dj, se réduit à
Remplaçant dp et dq par leurs valeurs rdx-hsdy-y sdx -4- t djTy et égalant ensuite à zéro les coefficients de dx et de dj^y il vient
dw\ ( d^\
en multipliant ces équations l'une par l'autre, on reproduit l'équation (8). Nous devons remarquer toutefois que les équations précédentes sont satisfaites en posant
l'élimination de ^ et ^ entre les équations (7) et (9) donne une équation entre x, y^ z, qui appartient en général à une surface non développable et qui satisfait cependant à l'cquation (7). Mais je n'insisterai pas ici sur ce sujet, qui se rapporte surtout au Calcul intégral.
