CHAPITRE X

356. En portant les valeurs de p, y, dp et dq tirées des équations (4) ^^^ celle de dz tirée de l'équation (3) dans Téquation

dp dq

dx -^ pdz dy -^ qdz

des lignes de courbure, on obtient

^'^' ' ■ [a5>(a) -(i-|-««)^'(a)]^/xj=o;

cette équation se décompose en deux autres, savoir :

(il) «/a — o,

cLc 1 -t- ç)* ( a ) — a ^ ( a ) y' ( « )

L'équation (i i) donne a = const.; elle convient aux caractéristiques ou aux génératrices de la surface qui forment ainsi un premier système de lignes de courbure, comme nous en avons déjà fait la remarque (n° 327). Ensuite, si Ton élimine Tune des variables x, j on a entre l'équation (i a) et l'équation (a), on aura l'équation diffère ntie lie qui convient au deuxième système de lignes de courbure.

Des surfaces des canaux.

337. La surface d'un canal est l'enveloppe d'une sphère de rayon donné dont le centre décrit une courbe plane arbitraire. Si l'on désigne par a le rayon de la sphère, par a un paramètre variable et par f (oe) une fonction de ce paramètre, l'équation générale des surfaces que nous considérons résultera de l'élimination de CL entre les deux équations

Nous avons déjà formé au n*^ 87 l'équation auxdérîvées partielles du premier ordre qui convient à ces surfaces; nous avons vu que la première équation (i) donne

(2) (x—(i)-\-pz = o, [x — f{a)]-hgz = o,

et que Ton a, par l'élimination de a et de g (ac),

Nous nous proposons de plus, ici, de trouver les lignes de courbure de la surface. La diffiérentiation des équations ( 2 ) donne

{ dx -h p dz -^ zdp = da,

' djr -{- q dz -^ z dq =z f [a) du\

d'ailleurs on a, parles mêmes équations (2) et la deuxième des équations (i),

on conclut de là

Or les premiers membres de ces formules sont égaux entre eux pour les lignes de courbure; donc l'équation de ces lignes sera

q dcf. pda.

dx -\- pdz djr -^ q dz

(x-^ p^-h q'^]dzftoLz= 0,

1 uu

do:

dx ^ p

dz'

P q dy

doL