CHAPITRE X

ce qui donne

rfec = o ou dz-=z Of

c'esl-à-dîre

a = const. ou z = const.

Ainsi les lignes de la première courbure ne sont autre chose que les caractéristiques de l'enveloppe, lesquelles sont des circonférences de grands cercles de la sphère mobile ; ces lignes de courbure seront aussi les lignes de plus grande pente de la surface si Ton suppose le plan xj horizontal, car les lignes de la seconde courbure sont alors des lignes de niveau.

De l'équation aux dérwées partielles des surfaces

réglées*

358. Nous considérerons enfin, en terminant ce Chapitre, le cas général des surfaces réglées. Les équations de la génératrice renferment trois fonctions arbitraires etTélimination de ces fonctions exige que Ton introduise les dérivées partielles du troisième ordre. Nous ferons donc, comme à Tordinaire,

dz=pcLc -^ qdjTy dp:= rdx -h sdjr^ dç = sdx-h tdjr,

et nous poserons, en outre,

dr=z udx -\-iudjry ds-=.yi dx -\-vdjr^ dt z=z ç djc -^ w dj^»

Cela posé, soient

(i) x = az-l-«, /■ = ^-5-i-6*

les équations de la génératrice de la surface.

Différentions les équations (i) par rapport à x eljf et dénotons par a', i', a', 6' les dérivées de a, i, a, S rela-

538 CALCUL riPTÉnEWTlEL,

tîves au paramètre 6 dont dépendent ces quantités. On aura

On tire de là

de

dx ap — I bp b[ap — i ) — ahp h ^

d6 aq hq — i baq — a[bq — i ) û '

il en résulte

(4) ap -\- bq ~- i

et

les dérivées a\ i', a', 6'que nous avons introduites ne figurent pas, comme on voit, dans les précédentes équations. DiiTérentiant l'équation (4) par rapport à a;, puis par rapport kj, il vient

(ar-^ ùs) -+■ [a'p H- b'q] — — o,

{as'\-bt) -f- [a'p -hb'q) — =0; ajoutant ces deux équations après les avoir multipliées