CHAPITRE XI. 54 t

Toute fonction explicite peut être obtenue en exécutant sur des variables et des constantes données un certain nombre d'opérations élémentaires; quand une seule de ces opérations suffît, le résultat est une/onction simple d'uneseule ^variable; dans le cas contraire, le résultat des opérations exécutées est une fonction composée de fonctions d'une ou de plusieurs variables indépendantes. Â l'égard des fonctions implicites, elles sont définies au moyen des équations qui expriment la manière dont elles sont liées aux variables indépendantes; les premiers membres de ces équations sont donc des fonctions explicites des diverses variables, et on les obtiendra en exécutant sur ces variables diverses opérations successives répondant chacune à ce que nous nommons une fonction élémentaire ou simple.

Il suffit donc de définir les fonctions élémentaires d'une seule vcu^iable que l'on veut introduire dans l'Analyse pour avoir une notion précise de l'ensemble de toutes les fonctions explicites que Ton aura à considérer; je à\s> fonctions explicites, car les équations dont dépendent les fonctions implicites ne définissent pas, en général, ces fonctions d'une manière complète. Or les fonctions élémentaires sont pour nous, jusqu*à présent, en très-petit nombre; elles se composent : i** des fonctions qui résultent de l'une des opérations de l'Algèbre ; 2** des fonctions exponentielle et logarithmique ; 3** des fonctions circulaires; nous donnerons la définition de ces diverses fonctions pour le cas où la variable indépendante est imaginaire.

3150. Désignons par z la variable indépendante et posons

X eljr étant des variables réelles. Si l'on trace deux axes

de coordonnées rectangulaires, x e\y représenteront les coordonnées d*un poinlM du plan, et Ton peut dire, avec Gauchy, qu'à chaque valeur de la variable z répond un point déterminé, et inversement. Soient p et w les coordonnées polaires du point M, on aura

X =z p cosw, ^ 2= p siûfi>,

et par conséquent

z^= p(cosw -h \/— I sinw);

les quantités p ettù seront dites le module et Y argument de la variable z.

Pour que la variable z prenne toutes les valeurs possibles, on représente successivement tous les points du plan : il suffît de donner à p toutes les valeurs de zéro à -I- 00 , et à «les valeurs comprises entre zéro et 2 7r ou, ce qui vaut mieux, les valeurs comprises entre — tt et H-TT. Alors à une valeur donnée de r, c'est-à-dire à des valeurs données de x et de y, répondront des valeurs déterminées de p et de co; il y aura cependant exception, dans le cas de j^ = o, x étant négatif; alors on a cosù) n= — i,sinc«) = o, et Ton peut prendre à volonté 0) = — TT ou 0) = -!-;:. Mais on fera disparaître cet inconvénient si Ton convient que Tangle w compris entre — z et -h îT peut approcher autant que Ton voudra de la limite inférieure — t:, sans cependant jamais Tatlcindre.

361 . Une fonction entière de z est un polynôme y (s), toujours réductible à la forme

ç(jr,j') et ip(x,j') étant des polynômes à coefficients réels. Toute fonction rationnelle de z est égale au quotient de deux fonctions entières, et Ton peut encore lui