CHAPITRE XI
donner la forme
?(-^*»t)» ^{^yy) ^^^^^ îci des fonctions rationnelles fractionnaires et à coefficients réels. Si Ton substitue les coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires, une fraction rationnelle quelconque sera toujours de la forme
P + Qv^^,
P et Q étant des fonctions rationnelles de jo, de sin &> et de cosoo.
362. Le seul cas des fonctions algébriques élémentaires que nous ayons à examiner est celui delà fonction z'^y m
étant un exposant fractionnaire - dont le dénominateur
gr est positif.
Si Ton fait, en désignant par k un entier quelconque,
z = p(cosw -4- ^ — I sinw) = p[cos(6.) -h ikn] -f- y^ — I sin ( w -f- 2/71) J,
on aura, par la formule de Moivre,
^'w — p'»[cOS/w(w -f- 2/-7r) -h ^—l SÎn/7l(&>+ 2^*7?)],
ou
2'"— p'w(cosmw-f y/ — isin/?iw)(cos2/?îX-7r-|- v/-~Î5in2mX-7r),
p"* étant une quantité réelle et positive. Cette expression de z'^ es t susceptible de q valeurs différen tes, pour chaque système de valeurs attribuées à p et à co; on obtient ces ç valeurs en donnant, à l'entier k, q valeurs successives, o, I, 2,...{q — i), par exemple. La formule précédente comprend donc ç fonctions distinctes dont la plus simple
répond au cas de A= o; si Ton adopte celte valeur, on
aura
»"» = p'" (cosiww -h \J — I sinmw),
et la fonction z"^ sera ainsi complètement définie.
Des séries dont les termes sont imaginaires, 363. Si les deux séries
^0* ''l' ''î' • • «1 ''«—I' • • •» ^0» '^li *'2* • • '1 *'«— Il • • "1
dont les termes sont réels, sont convergentes, et que leurs sommes soient respectivement U et V, on dit que la série
est convergente et qu^elle a pour somme la quantité
U-hV\/=T.
La même série est dite au contraire divergente, lorsque les parties réelles de ses termes et les parties multipliées
par \j — I ne forment pas deux séries convergentes.
Théorème L — Une série est convergente, lorsque les modules de ses termes forment une série convergente.
En effet, soit la série
"oï "i» "21 • • • I ''»— n • • • î
désignons par pn et (un le module et Targunient du terme général Un, en sorte que l'on ait
"/» = prt (cosw;, -f- \/— I sIdw,^).
La série
Pot Pif pii . . . , Pn—l9 • • •
