Multiplication des séries. — Théorème II. — Soient

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deux séries cons^ergentes ayant respectivement pour sommes S et S', et qui restent convergentes quand on y remplace les termes par leurs modules, la série

dont le terme général Wn^\ a pour valeur

est oonwergente, et elle a pour somme le produit SS'.

Ce théorème a été établi au n** 104 pour le cas où les termes des séries (i) sont réels; nous supposons ici ces termes quelconques. Désignons par

les séries convergentes formées avec les modules des termes des séries (i) et posons

la série

(4) '''01 "^it "^ly •••» 'f/i— 1» •••

S. — Co/b. diff, 35

est aussi convergente (n® lOi) et elle a pour somme le produit des sommes des séries (3).

Cela posé, soient S„, S';, les sommes obtenues en ajoutant les n premiers termes dans les deux séries (i) respectivement, S^ la somme des n premiers termes de la série (2) ; soient aussi 2„, Z'„, S^ les sommes obtenues en ajoutant les n premiers termes dans chacune des deux séries (3) et dans la série (4); on aura

,^. I S„ S'„— S^= Un-x «'«-i H- («„! t'„i -+- Wn-i«'/,^i ) -+- —

( -\- ( p„-., 0-j -f- p;,-j 0-j -h . . . -f- Pi ff«i ),

et, comme le module d'une somme ne peut surpasser la somme des modules des parties, on conclut de ces formules que le module de la différence S;,S'„ — S* est inférieur, ou au plus égal à 2„ S', — Z^. Mais cette dernière différence tend vers zéro, comme nous venons de le dire, quand n augmente indéfiniment ; donc le module de la différence S,, S'„ — S^ tend aussi vers zéro, et Ton a

lira (s„ s; — s;, ) = o ou lim s;; = SS',

ce qui démontre la proposition énoncée.

Remarque. — Il faut remarquer que le précédent théorème ne subsiste pas nécessairement dans le cas de deux séries qui cessent d'être convergentes quand on y remplace les termes par leurs modules.

365. Nous présenterons encore ici un théorème important dont on verra bientôt l'application.

Théorème 111. — Soient m un nombre entier positif, z une quantité imaginaire donnée, et Z une variable