CHAPITRE XI

donc la série nouvelle dont nous parlons a pour somme 9(2 H- Zj ) et Ton a, en conséquence,

(2) Ç)[3H-Ji)==9>(3)«p(5i).

On peut encore démontrer cette relation fondamentale sans recourir au théorème sur la multiplication des séries et en faisant usage du théorème démontré au n" 365. On a effectivement, en désignant par m un entier positif,

m et, en faisant tendre m vers Tinfini, on a à la limite

ou (n** 365)

comme nous l'avons déjà trouvé.

D'après cela, si z, Zt, Z2, ..., z^^^ désignent des expressions imaginaires quelconques, on aura

et, en supposant

on aura

(i étant un entier positif quelconque. '

Si z se réduit à une fraction positive ou négative rt: -> on aura

mais la formule (2) donne pour z = i , Z| = — i ,

y(— l)y(-M)r=ç(o)=I, d'où y(— l)=:[y(l)]-«,

et, par conséquent,

(4) y (±jy=[f (.;]-.

On a

donc, en extrayant la racine /i**°* arithmétique des deux membres de Téquation (4)» on aura

Hh''"

ou, en écrivant z au lieu de dz -5

Ainsi notre analyse nous permet de démontrer directement que, dans le cas où z est une quantité réelle, la fonction (^{z) n'est autre chose que la fonction exponentielle e*. Or l'équation (a) qui exprime la propriété caractéristique de cette fonction subsiste, quelle que soit la variable z; il est donc naturel d'étendre à tous les cas la notation déjà admise dans l'hypothèse où z est réelle. Nous poserons, d'après cela,

cette formule exprime la définition de la fonction e* dont la propriété caractéristique consiste, d'après la formule (2), en ce que