Les expressions

arcsinz, arccosz, arctang^, •••

admettent une infinité de valeurs pour chaque valeur réelle de z, et il en est de même quand z reçoit des valeurs imaginaires. Nous nous bornerons ici à indiquer comment on obtient les diverses valeurs qui répondent à une valeur donnée de Zy et nous prendrons comme exemple l'expression arccosz.

Il s'agit de trouver deux quantités réelles uelu telles, que l'on ait

cos(tt-H-PV^c— i) = z=zX'hX\'~~^j

X el y étant des quantités réelles données. Cette équation revient à

costf smtt ^ — 1 = a: 4-^ y — i,

o6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et par conséquent les inconnues u, v doivent satisfaire aux deux équations

(i) ces a = x, sinu = — ^,

On tire de là

' cos«< smu cos/< 8in<<

et en multipliant

cos^ tt sin' u

ou

sin* «I — ( I — X* — r* ' :'. * « — 7* =1: o.

Résolvant cette équation, il vient

sm««== H^-^V( T-^j -^^^

le radical étant pris avec le signe +; afin que sin^u soit positif; on a aussi

cos^ Il — ( I -f- j:* -f ^*) ces* u — j:' = G, d'où

cos««=: y/(^ j -^,

extrayant la racine carrée des deux membres de cette formule et remarquant que cosu a le signe deo:, d'après les formules (i), on a

(3) costt = j •

["ijhxM^ ^ //i-f-j?'-hr*y S