CHAPITRE XI
Posons
«iQ = arccos 9
° \cosiio sinuo/
uo étant un arc compris entre zéro et ir; l'équation (3) donnera
(5) «=2/-7r±lio,
k étant un entier; on aura ensuite, par les équations (2)»
COS2/0 sm^o cosi/(, sinuo
le signe ambigu d= devant être fixé de la même manière que dans la formule (5). On a, d'après cela,
(7) arccos^.r -^ y ^ — i)==-7,k'ts±\UQ -h Vq ^ — i);
par conséquent, lorsque deux quantités réelles ou ima» ginaires ont le même cosinus, la somme ou la différence de ces quantités est un multiple de la circonférence.
Dans le cas particulier dej^ = o, les équations (1) donnent immédiatement
sintf = o ou u=zo.
En prenant v = o, on a
mais cette solution ne convient qu'au cas où la quantité x est comprise entre — i et -t- i . En prenant sinii = o, on a
costt = it:i,
S. — Culc. diff. 36
le signe de rfc i étant celui de x. La première des équations ( I ) donne alors
d'où
e^ = dzx -h^jc* — I et pr=: log(dza:-f- ^x* — i). On a donc, si x est compris entre — cx> et — i,
(8) arccosx= [i k -h i] it -h yj — i Iog{— or -4- y]x^— i), et, si X est compris entre -4- i et -f- oo ,
(g) arceosar =:r 2/-tr -h y^— I log(.r -h ^x* — i)
373. Les fonctions logz, arc sinz, . . . , ainsi que les fonctions algébriques explicites non rationnelles, appartiennent à la classe des fonctions implicites u, déterminées par une équation telle que
dont le premier membre est une fonction bien déterminée des deux variables z et u, et irréductible à la forme u — f[z),/[z) étant une fonction bien déterminée. Cette équation peut admettre, pour chaque valeur de Zy un nombre fini ou infini déracines u qui varient avec z; mais, pour pouvoir considérer l'une de ces racines u en .particulier comme une fonction de z, il est nécessaire de la distinguer avec soin des autres racines, parmi lesquelles il y en a qui peuvent devenir égales à celle que l'on veut étudier, pour certaines valeurs particulières de z.
De la continuité.
374. La définition de la continuité donnée au n^ 12 est applicable aux fonctions d'une variable imaginaire. Ainsi :
