CHAPITRE II. 3l
Passant aux limites, il vient
dy du
dx dx
et, en multipliant par dx^
dy =r adu*
• Ainsi la différentielle du produit d'une fonction par une constante est égale au produit de la dijfférentielle de la /onction par la constante,
2^ Considérons en deuxième lieu le produit
y ^- uv,
uetsf étant deux fonctions de x* Soient Au, Ai^, A^ les accroissements que prennent u, if y y quand on donne à:r l'accroissement Ax ; on aura
A/ = ( 1/ + Aw ) (r H- Ar) — uv r= cAtt -}- uàv -f- au Ai',
et, en divisant par Ar,
A» Af
- Ax.
Ax àx
Passant aux limites, on voit que le dernier terme du second membre s'évanouit, et l'on a
dy du du
Ar
Af/
Ax
Ar
dx dx dx
OU, en multipliant par dx,
dy rzzvdu -\- udv.
Ainsi la différentielle du produit de deux fonctions est égale à la somme des deux produits que l'on obtient en multipliant cliaque fonction par la différentielle de l'autre.
3 a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
En divisant la formule précédente par le produit y ou uv^ on obtient
€Îr fift fh jr ~~ u V
Le rapport de la différentielle d'une fonction à cette fonction a reçu le nom de différentielle logarithmique. Alors notre formule exprime que : •
La différentielle logarithmique d'un produit de deux facteurs est égale à la somme des différentielles logarithmiques des facteurs.
Cette propriété, analogue à celle des logarithmes, justifie la dénomination de différentielle logarithmique,
3*" Considérons enfin le produit d'un jiombre quelconque de fonctions de la variable indépendante x^et soit
ce produit.
En appliquant la règle qui se rapporte à la différen-
tiation logarithmique du produit de deux fonctions, on
aura
(fr ffu d (u^u^. . . Um—i )
jr ^ u ai«j.. . «m-i
ffu du I diiin... Il „j—i )
du diti dttf d(...tt„j^^'
u llj U^ ...«m-l
la dernière de ces égalités, savoir
exprime que la différentielle logarithmique d'un pro*
