CHAPITRE XI

Une fonction bien définie f[z) de la variable ima^ ginaire z est dite continue pour les valeurs de z qui répondent aux points compris dans l'intérieur d'un contour quelconque tracé sur un plan, lorsque, pour chacune de ces valeurs de Zf le module de la différence

décroît indéfiniment en même temps que le module de ù^z, c'est-^'dire devient infiniment petit avec Az.

On voit, par cette définition, que les fonctions entières sont continues pour toutes les valeurs de z ; la même chose a lieu à l'égard de la fonction é^ ; car on a

S+&JB

et, en désignant par h le module de Az, par B une quantité dont le module est compris entre zéro et i, on peut

écrire (n° 365)

dAz

e»+Aa ^s —3

il est évident que le module de cette différence est infiniment petit en même temps que le module de Az.

Les fonctions cosz et sinz ne sont autre chose que des sommes d'exponentielles, et par conséquent elles sont fonctions continues de z pour toutes les valeurs de cette variable.

Les fonctions rationnelles non entières et les fonctions tangz, colZj sécz, cosz ne deviennent discontinues qu'en passant par l'infini.

Mais il n'en est pas de même à l'égard des fonctions irrationnelles, et comme la continuité joue le rôle principal dans le développement des fonctions en séries, il est nécessaire de bien fixer les idées à cet égard en étudiant complètement un cas très-simple.

564 CALCUL DIFFÉKEKTIEL.

Ainsi que nous Tavons dit, la variable

zz=.x -{-y ^ — I =p(cos» -4- v/—* sin«)

peut prendre toutes les valeurs possibles quand on attribue àp les valeurs comprises entre zéro et cx) , et à o) les valeurs comprises entre — ir et -I- tt. D'après cela, une fonction continue de z doit varier par degrés insensibles avec p et &), et en outre, si t désigne un angle réel infiniment petit, la différence des valeurs que prend la fonction pour

« = p [cos( — TT -f- s) + ^— - 1 sin ( — TT 4- e) ] et

z-=.Q [cos(7r — «) -f- ^ — I sin (ir — e) ]

doit être infiniment petite, puisque la difiercnce de ces

valeurs de z^ savoir ap sine \l — i , est elle-même infiniment petite ; il est évident que réciproquement ces deux conditions assurent la continuité. On voit sans peine que la seconde condition peut être exprimée en disant que la fonction considérée prend des valeurs égales pour w = — tt et pour cû =-+-::.