Gela posé, considérons Texpression
OÙ 771 désigne une fraction commensurable dont le dénominateur est supérieur à i . Si l'on fait
s = p(cos» -f- ^— I sinu), I -t-a = r(cos^f»-f- ^^i sin>}>),
^ étant assujetti, de même que w, à rester entre les limites — TT et -4-7r sans jamais atteindre la limite inférieure, on aura
r cosij» = n- p C08«, rsinif» = p sin«.
CHAPITHE XI. 565
/ j , i-l-ocosft> . , psinw
r= y i + apcoswH-p', cosyr= ■ » sinip= »
équations qui déterminent complètement le module /• et l'argument vj^. D'après cela, les valeurs de l'expression (i -H'Z)'" seront
r'^{cosm^ -4- v/ — i sinmip) (cos2/nA-7r -h ^— i sin2/w/-7r),
k étant un entier. On peut prendre, pour définir la fonction que nous voulons considérer, l'équation
(i -+- 2)'" = r'" (ces i?iAp -+- \^— I 8in/7^1}/),
et je dis que cette fonction sera continue tant que le module de z sera inférieur à i , tandis que, si ce module prend 8es valeurs supérieures à i, la fonction pourra devenir et deviendra effectivement discontinue.
En effet, les formules précédentes montrent que r, cosïj/, sin^j;, et par suite ip, varient par degrés insensibles si jO et ck) varient elles-mêmes par degrés insensibles, et cela queUes que soient les valeurs que l'on attribue à p ; mais, si p est inférieur à i, on voit que cosip est toujours
positif, d'où il suit que ^ reste compris entre
et H — ^ et comme on a sin ip = o pour « = ±: tt, l'angle ^j;
s'annule pour w = — tt et pour « = 4-71. On voit par là que la fonction (i -h ^)'" varie par degrés insensibles avec p et b) ; elle a d'aiUeurs la même valeur, p restant le même, pour a)= — tt et pour w =-|-7r : donc elle est fonction continue de z.
Supposons maintenant que z prenne des valeurs dont le module soit supérieur à i . Si l'on donne à tù les valeurs — (tt — e) et -h(7r — c), e étant un infiniment petit.
puis qae Ton fasse tendre t vers zéro, dans Tun et Tautre cas cos<p tendra vers la limite — i , et sin^ vers la limite zéro; mais, dans le premier cas, sintp atteint sa limite en passant par des valeurs négatives, tandis que, dans le second cas, le sinus est positif avant d'atteindre sa limite ; il s'ensuit évidemment que Ton a ^ = — tt pour w = — n et^ = 4-7r pour 0)= -hTT. Par conséquent, la fonction (i-f-z)'" prend pour <ù= — tt et pour o) = -f-7r deux valeurs dont la différence est ar^'sinmTr ^ — i ; cette différence ne se réduit à zéro que si m est un nombre entier : donc, dans tout autre cas, la fonction est discontinue.
Les mêmes considérations font voir que la fonction log(i-hz) reste fonction continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à i , mais qu'elle devient discontinue lorsque z prend des valeurs dont le module surpasse l'unité. •
Dérivée et différentielle d'une fonction d^une variable
imaginaire.
376. Nous étendrons au cas des fonctions d'une variable imaginaire les définitions de la dérivée et de la différentielle que nous avons données pour le cas d'une variable réelle. Si donc y (z) désigne une fonction de la variable imaginaire z=tx -hy^ — i , la dérivée J'{z) sera, par définition, la limite vers laquelle tend le rapport
f[z-^lz]-f[z)
ÙLZ
ou
f[x -f- y V — i -^ àx-^ ^x \ — \) — /(.r -\-x \' —
Ax -f- A/ ^— I
lorsque Az= ûj:-f- Aj^y'' — i tend vers zéro, ce qui
CHAPIT&E XI. 567
exige que Ax et A^ tendent simultanément vers zéro. On aura aussi, pour la diiTérentielle àe f[z)y
df[z)^f'[z]dz.
Une variable est fonction de plusieurs autres, lorsqu'elle prend une valeur déterminée quand on attribue à celles-ci des valeurs déterminées. Partant de cette définition, Cauchy a considéré toute fonction ^{oCfj) des deux variables réelles x el j comme une fonction de
