X -rj \l — I OU de z, La dérivée ^ S savoir

tîi^iû =: lim y(^ -^ ^-^^ y '^Az'i — fi^^y) ,

dz Aor -f- Ar y — I

est alors généralement indéterminée et sa valeur dépend

de la limite — vers laquelle converge le rapport — - quand

Ax et Ay tendent vers zéro. A ce point de vue, il y a lieu de distinguer les fonctions en deux classes, suivant qu'elles ont une dérivée unique ou une infinité de dérivées ; nous nous bornons à indiquer ici cette conception, dont nous ne chercherons à tirer aucune conséquence.

Lés règles de la différentiation des fonctions algébriques n'ont à subir aucune modification, lorsque la variable devient imaginaire ; il s'ensuit que ces fonctions ont des dérivées déterminées. La même chose a lieu à l'égard des fonctions exponentielles, logarithmiques ou circulaires, caries règles relatives à ces fonctions reposent uniquement

P . , . e^ — I sin A ,

sur ce lait, que les expressions — - — > -—r— tendent vers

l'unité quand h tend vers zéro, et cela résulte immédiatement des définitions des fonctions e^ et sinz pour une variable imaginaire z. On voit donc que toutes les fonctions composées avec les Jonctions élémentaires de l'ana-

568 ' CA.LGUL DIFFÉRENTIEL.

lyse auront une dérivée unique déterminée, et dans ce qui va suivre nous ne considérerons que de telles fonctions.