CHAPITRE XI

rapport kjr^ on trouvera

dr* da: dy àx* dx djr

d'où

'""^ d?"^d?~''' d^-dyf""'^'

Ainsi l'équation aux dérivées partielles

dx* dx*

est satisfaite en posant

378. Nous établirons encore ici une autre formule qui nous sera utile. Introduisons les coordonnées polaires p ' et 0) au lieu des coordonnées rectangiilaires, et faisons

d'où

dp p d(a ^ ^

Si la fonction y(-z) admet une dérivée y^(z) bien déterminée, on aura, en opérant comme au numéro précédent,

dp ^ ' dp Oa * ' Ou

d'où

d/(z) a* d/{z) dz

dp dfii> du Op^

d*z ajoutant à chaque membre la quantité y(z) - — ^-1 on

570 CALCUL DIFFÉREHTIEL.

aura

^dz^ ^ dz

d/{z) dz d« __ d/[z) dz Tp

-dp- à^ ^^^'^ lif-^-d^d-p -^«^W "â^T'

dp doi '

telle est la formule que nous voulions établir ; en y remplaçant ;t- et — par leurs valeurs écrites plus haut, elle devient

aO/w]

àW[z]\

Démonstration d'un théorème de Cauchj,

379. Soit f{x) une fonction réelle d'une variable réelle x, qui reste continue pour les valeurs de x coml^rises entre les limites Xq et X.

Désignons par x une valeur quelconque comprise entre Xo etX; divisons l'intervalle x — Xq en un nombre ti de parties égales ou inégales et représentons ces parties par

la somme

tend vers une limite déterminée lorsque le nombre n augmente indéfiniment et que chacune des différences X\ — Xq, X2 — X|, ... tend vers zéro. Cette limite est une fonction de x que nous représenterons par F(a:), et

CHA.PITRB XI. 571

si l'on construit la courbe dont l'ordonnée est /(a:), relativement à deux axes rectangulaires, la limite F{j:) ne sera autre chose (n® 188) que l'aire comprise entre la courbe, Taxe des abscisses elles ordonnées qui répondent aux abscisses Xq et j: ; en conséquence on aura

d F (x) =/(x) dx.

Si les différences Xi — Xq, X2 — X|, ... sont égales entre elles et que l'on représente par h leur valeur commune, on aura

on a, en outre, évidemment

F(aro)=o.

Soient/i [x) etyi(j:) deux fonctions réelles eVcontinues pour les valeurs de x comprises entre Xo et X ; il existera, d'après ce qui précède, deux fonctions Fj(j:), F^fx) telles, que les formules précédentes auront lieu quand on fera simultanémenty=yi, F=F| ouf=/2 etF^rFj; donc les mêmes formules auront lieu encore, si l'on pose

/(:r)=/,(x)-|-/,W v/^. F(a:)=Fi (x)+F.(x) y'-^T.

380. Soit f[z) une fonction bien déterminée de la variable ' » = p (cosfiD -f- \f— I sin«) = pe"*^-* ,

et qui reste continue pour les valeurs de p comprises entre certaines limites.

Si l'on attribue au module p une valeur déterminée, la fonctiony(z) ne dépendra plus que de l'argument o);

Syi. CALCUL DIFFÉRENTIEL.

donnons alors ktùles n valeurs en progression arithmétique

a/ir

désignons par

^0> ^1> • • •» ^rt— I

les valeurs de z qui répondent à ces arguments. La moyenne arithmétique des valeurs correspondantes de /{z), savoir

tendra vers une limite que Cauchy a nommée la valeur moyenne de f{z) correspondant au module p ; nous la représenterons par DÏLf(^z) et l'on aura en conséquence

51^/(,) = limr^M±Z(£l)±llJt^(it'] pour n = «.

381 . Cauchy a nommé module maximum d'une fonction /{z) relatif au module p de z, le plus grand des modules que prend /{z) quand co varie de — tt à -+- tt. Le module d'une somme étant inférieur à la somme des modules des parties, la formule précédente montre que le module de la valeur moyenne *^[f{^)] est inférieur au module maximum àe f[z).

Supposons

(j. étant un entier positif ou négatif. On aura

3TL[2i*] — pJ^e-ï***^ lim