CHAPITRE XI. SyZ

et si (JL De se réduit pas à zéro, celte formule montre que

Ton a

382. Les notions que nous venons de présenter suffisent pour établir un théorème important dû à Cauchy ; ce théorème est le suivant :

Théorème. — SoitJ\z) une fonction de la variable

imaginaire z^=z pe^>r^ ^ qui reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module n'est pas supérieur à une quantité donnée R. Si l'on désigne par Tj la valeur que prend z quand on fait /9 = R, /a valeur moyenne de la fonction TjfiTL) sera nulle. Ainsi l'on aura, d'àprès la notation convenue,

OR[Z/(Z)] = o.

En eÉFet, posons

on aura, par la formule ( 3 ) du n® 378,

(^) Op

roj

Regardons p comme une constante, cf(py (o) sera une fonction continue de o); si donc on fait

= (» -t- tt) hm ^-^ ' ^ f-^ , pour /i=ao ;

4>(p, (ù) sera une fonction déterminée s'annulant pour

5y4 CÀLCITL DIFFÉRENTIEL.

0) = — TT, et l'on aura (n** 379)

Pareillement, si Ton regarde o) comme une constante, ^(p, 0)) sera fonction continue de p, tant que Ton aura jO <^ R ou = R, et si Ton fait

(5) V{/), w)=phm ^^ ^ — ^^ ' ' ^^ -^—^9 pour» = 00;

H^[p, (ù) sera une fonction bien déterminée qui s'annulera avec p, et Ton aura (n** 379)

Maintenant différentions l'équation (4) par rapport à p, et l'équation (6) par rapport à (ù; nous aurons, à cause de la formule (2),

()p do) C^p do)

rci*jp,j«)d^(p,^1

L (^P àp J

Cette formule montre que la fonction

d^P^ dwip^oi) dp dp

est indépendante de o); on obtiendra donc des valeurs égales en y faisant a) = — 7retû) = -f-7r; ainsi Ton a

a»(p, +7r) ay(p, +ir) (?»(p, —tt) <)y(p, —tt)^

dp <)p dp dp