CHAPITRE XI

Or, par hypothèse, la fonction ^[p, w) a la même valeur pour co = — TT et pour w = H- tt ; la même chose a lieu, en conséquence, pour Y(p, «), d'après la for-

mule (5), ainsi que pour la dérivée — ~i"^~ 5 d'ailleurs

la fonction 4>(p, — iï) est nulle; donc la formule précédente se réduit à

— dp -^-

Il résulte de là que la fonction 4>(p, -Htt) se réduit à une constante, et, par conséquent, on a

(7) ♦(R, -hir)=*(o, -+-7r).

Enfin, y(r) étant continue pour les valeurs de z dont le module ne surpasse pas R, cette fonction ne peut être infinie pour p = o ; il s'ensuit que le produit

s'annule pour p = o, et il en est de même de 4>(p, o)) d'après la formule (3). On a donc parla formule (7)

ou, ce qui revient au même,

ce qui démontre le théorème énoncé.

Corollaire I. — Soit F{z) une /onction d'une i;a-

riable imaginaire z= pe"*^~^, qui reste continue pour les "valeurs de z dont le module p ri est pas supérieur à R. Si Von désigne par Z la valeur que prend z quand on i*emplace p par R, et par x une constante réelle ou imaginaire dont le module r soit compris entre zéro et

R^ on aura

En efiet, la ibnctioD F(z} étant continue tant que p n'est pas supérieur à R, il en est de même de la fonction

il ne saurait efiectivement se présenter de discontinuité que quand ^ atteint la valeur x; la fonction y*(^) prend alors la valeur

,. F(jr-4-A) — F(r) „,, ,

hm -> [ i— ^ = F'(a: ,

quantité qui est nécessairement finie, en vertu de nos hypothèses, comme on le verra plus bas.

D'après cela, on peut appliquer le précédent théorème à la fonction /{z) définie par la formule (9) ; on a donc, par la forme (8),

»[zîI?)5lW] = „,

ou

Or on a

d'ailleurs la valeur moyenne de — est nulle (n** 381)