CHAPITRE XI

quand fi ne se réduit pas à zéro, et cette valeur moyenne est évidemment égale à Tunité, quand 11 = 0; donc

3Tt U=|-+-31l;

I esti

Le module de 31L | J est inférieur (n® 380) au

module maximum de la fonction '■ , lequel est

au plus égal au produit <l6 ( ^ ) parle module maximum

de j et comme ( j tend vers zéro quand n

augmente indéfiniment, on a

3ÏL

la formule (9) donne alors

(.2) f(x) = OIl[^F(Z)],

ce qui démontre la proposition énoncée.

Corollaire II. — Les mêmes choses étant posées que dans le corollaire I, la dérwée d'ordre fx de la fonction ¥[x) a pour valeur

(i3) FW(.r) = ,.a...«31L[^^^^^^^.F(Z)].

Cette formule comprendra la formule ( 1 2) si Ton convient de remplacer le produit 1.2... |ui par Tunité et F^'*^ ( x) parF(j:) quand /x est nul; donc, pour établir la for-

S. — Cale, diff. 3;

578 CALCUL DIFFÉREWTIEL.

mule (i3), il suffit de démontrer que, si elle a lieu pour une valeur de fz, elle subsiste encore pour la valeur suivante. A cet eflet, remplaçons x par x -^h dans la formule (i3), on aura

et, par suite,

ZF(Z)

ZF(Z) 1

faisant A = o, on a

ce qui n'est autre chose que la formule (iS), où Ton a remplacé ^t. par /:/ -h i .

Remarque. — Pour établir la formule (12), nous avons admis que F'(a:) ne peut pas devenir infinie pour une valeur de x dont le module est inférieur à R ; nous allons actuellement le démontrer. Supposons que F'(a:) puisse être infinie pour diverses valeurs de x dont les modules soient compris entre zéro et R, et soit ae^^/"* celle de ces valeurs qui a le plus grand module. La formule (12) subsistera sans difficulté pour les valeurs de x dont les modules sont compris entre a etR, et, en la différentiant, on aura encore

Donnons à x Targument a et faisons tendre le module de