CHAPITRE XI

cette variable vers la limite a ; le second membre restera évidemment fini et tendra vers une limite déterminée ; par conséquent le premier membre, qui est égal au second, ne pourra devenir infini, comme on Ta supposé. Il résulte de là que la formule (12) exige seulement que le module de x soit inférieur au module R.

Formule de Maclaurin.

383. Cauchy a déduit de ce qui précède le beau théorème suivant :

Théorème. — La fonction F(x) sera déueloppable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de x, si le module de la variable réelle ou imaginaire x conserve une valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction F[x) cesse d'être continue.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de remplacer,

dans la formule (12) du numéro précédent, — ^ — par la

valeur tirée de la formule (i 1); il vient alors

F(*)=3U/[F(Z)]-l-j:aitr^-n-i

en faisant

Le module de x étant, par hypothèse, inférieur à R, le facteur ( - j tend vers zéro, quand n augmente indéfini-

(2) R„-3Tf ~ ">"' ■ '- > <- ■ ■■"■■^ """"-

58o CALCUL DlFFÉREIfTIEL.

ment, et la quantité qu'il multiplie, dans l'expression de R«, conserve évidemment une valeur finie ; on a donc

limR;j=o, et, par conséquent,

ce qui démontre le théorème énoncé.

Les formules ( 12) et (i 3) du n" 382 donnent, poura:=o,

F(o)r=01L[F(Z)], on peut alors écrire la formule (3) comme il suit:

ce qui est la formule de Maclaurin.

384. Les fonctions (n-^z)'» et log(i-f-z), définies comme nous l'avons fait plus haut, étant continues pour les valeurs de z dont le module est inférieur à i , on aura pour ces valeurs de z

/ x». mm (m — i) .

log(i + ^)---~+ 3-....

En écrivant pe^v^"* au lieu de z, cette dernière formule devient

VIT û«e*«\^

Posons