I -f-pcos« = rcos^, psin« = rsin

log^i-*- pcosw-hpsmwy — 1)==-- h

CHAPITRB XI. 58 1

l'angle ^ devra être compris entre et H , à cause

de p<^i, et il est, en conséquence, déterminé par sa tangente dont la valeur est

, psinu tskus-o = — ' •

It- p COSW

On a d'ailleurs

r = ^ I -f- 2p COSW -h p', puis

log(î -1- pcosft) -h p sinwv/— i) =logr-f- ^^ — i ;

donc

, / . — psin»

log i/ iH" 20 cosû) H- p' -r i/ — I arc tanff — ' ■-

' ' ^ ^ I -I p COSW

Égalant de part et d'autre les parties réelles et les parties multipliées par le facteur y — i, il vient

, / i ocosw û*cos2w p'cosSw

logViH-^pcosw -+-p*= ' — i- h ...,

psinw psinw p*sin2w p'sinSw arctang — =- h ' — r . , .,

l-i-p COSw 12 0

formules qui subsistent pour toutes les valeurs de p inférieures à I , pourvu que l'arc de la seconde formule soit

pris entre les limites et H — «Si Ton fait dans cette

dernière formule jDsin&>=x,|DCOSci) = o, d'où a) = ±:-» il viendra

arc tang x=z - — -- — ^ "£ — •••?

58q càlc€l différentiel.

ou, en posant x = tang^,

tingz tang*z tang*z

cette dernière formule subsiste pour les valeurs réelles

de z comprises entre — y et -h y

385. Les fonctions e*, cos,^ et sin^ restent continues pour toutes les valeurs de z : donc elles sont toujours développables en séries convergentes ; mais il faut remarquer que ces développements en séries sont, pour nous, Texpression même de la définition des fonctions dont nous parlons ; il n'y a donc aucune conséquence à tirer relativement à celles-ci. Il y aurait lieu à un théorème concernant la fonction e*, par exemple, si Ton prenait pour définition de e* Téquation

Les fonctions -:: et - cot - ne cessent d'être contiez — I 2 2

nues qu'en devenant infinies, la première pour des valeurs

de z multiples de 27ry — i, la seconde pour des valeurs de z multiples de stt^ donc ces fonctions sont développables en séries convergentes pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z dont le module est inférieur à 3 7r. Pareillement, la fonction tang^: reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur

à -^ elle est donc, pour ces valeurs de «, développable

en série convergente par la formule de Maclaurin. J'ai démontré ces résultats par une méthode particulière, dans mon Traité de Trigonométrie (5* édition); je renverrai à cet Ouvrage pour les détails des développements en série dont je viens de parler.