CHAPITRE XI

Les fonctions zp, \ogz, e* sont discontinues pour une valeur nulle du module, et elles ne sont développables en séries ordonnées suivant les puissances entières , positives et ascendantes de z, pour aucune valeur de cette variable.

Formule de Lagrange,

386. Désignons par x une constante donnée, par t une variable réelle ou imaginaire, et considérons Téquation

(l) z=a',-^tf[z],

dans laquelle z est une inconnue el f[z) une fonction continue de z indépendante de x et de t. Cette équation aura un nombre limité ou illimité de racines z selon que la fonctiony(z) sera algébrique ou transcendante ; pour t = o, l'une de ces racines se réduira k x et les autres deviendront infinies. Pour que Téquation (i) ait deux racines égales, il faut qu'elle soit vérifiée en même temps que sa dérivée prise par rapport à z, savoir

et, en éliminant t entre les équations (i) et (2), on aura

Les racines de cette équation (3) sont indépendantes

de t] désignons-les par a^e*^y\ aje'tv^, ... et por" tons-les successivement dans l'équation (2), on aura

formules qui font connaître les valeurs qu'il faut attri-

584 CALCUL DIFFÉHENTIEL.

buer à t, pour que deux racines de l'équation (i) soient égales entre elles. Désignons par Rie module de celle de ces valeurs qui a le plus petit module ; il est évident que réquation(i) n'aura point de racines égales tant que le module de la variable t restera inférieure à R, et par conséquent les racines de cette équation ne pourront vérifier Téquation (2).

Cela posé; je dis que, si le module de t reste compris entre zéro et R, les racines de l'équation (i) varieront par degrés insensibles avec t. En effet, donnons à t une valeur ^0 dont le module soit compris entre zéro et R, et désignons par Zq l'une des racines de l'équation (i);

on aura ^o= -r — r et si, prenant pour ÙZq une quanti ^0 )

tité infiniment petite, on détermine A^o P^i* l'équation

fo 4- A/q = -î'rj ~ — ^î il est clair que l'équation (1)

aura pour racine Zo-h Aro lorsqu'on donnera à « la valeur ro-H A^o- La différence de nos deux valeurs de t est

. Z(i~\- AZq — X «0 — X

et, comme la fonction y(^) est supposée continue, la formule de Maclaurin lui est applicable ; on a donc, en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre,

/(^oj * — '0/ 1^0 J

Le dénominateur i — hj^^^o) ^e pouvant être nul, on voit que, si la valeur ^0 produit une racine Zo, la valeur to-h Ato produira une racine ^Q-f- Aj©» dont la différence à Zq deviendra infiniment petite avec Afo*