CHAPITRE XI

Mais toutes les racines de réquation (i) deviennent infinies pourt = o, à l'exception d'une seule qui se réduit à x; celle-ci peut être considérée, d'après ce qui précède, comme une fonction continue de t pourtoutes les valeurs de cette variable dont le module est inférieur à R, et, pour ces valeurs, elle est développable en série convergente, par la formule de IVfaclaurin.

387. Désignons donc par 2 la fonction qui vient d'être définie, on aura

(flz\ . . , , dz

y j > • • • exprimant les valeurs que prennent ^ , — > • • •

pour«--=ro. Et, si F(z) désigne une fonction continue de r, indépendante de t et de Xj on aura plus généralement

,5,r„=.,.,.£[r^>].A[-il)]^.....

Il nous reste à calculer les coefficients de ce développement. Pour cela, considérons ici le paramètre x comme une variable. Si l'on différentie l'équation (i) d'abord par rapport à t, puis par rapport à or, il viendra

d'où l'on tire

En difiiérentiant les deux membres de cette formule par rapport à Xj et en multipliant ensuite par une fonc-

tion arbitraire (f{z) de z, on sl

ajoutant cette formule avec la formule (7) multipliée par

df[z) dz __ d9>(3) ., .

- - — - == — — 9 11 vient Oz ox ox

^^/A^^M^àz^ '

^^ ^ Ôt ôt dx ^^^ dx ^ d.r l^^ ^ôxf

ou

'^ ôt " "" ' dx " • •

Cette formule (8) nous montre que, si Ton doit prendre la

dérivée, par rapport à t, d'une expression de la forme

dz .

y(z) . 1 il suffira de multiplier cette expression par y*(z)

et de prendre la dérivée du produit par rapport à x.

Différentions Téquation (8) n — a fois par rapport à t ; on pourra, dans le second membre, intervertir l'ordre des diiTérentiations relatives à t et x, et l'on aura

ôt"-^ dx ôt"-* '

mais, dans le second membre, chaque différentiation relative à t peut être remplacée par une différentiation relative à x, pourvu qu'on introduise d'abord un facteur /(z); on aura donc