i cLc

c est la formule connue sous le nom de formule de La-grange.

Si la fonction F(z) se réduit à z, on a

588 CALCUL DIFFÉRBHTIEL.

Remarque. — Si la dérivée P(-^) reste continue, la

fonction ^ ; =F(z) -r- est développable , par la

formule de Maclaurin, en série convergente ordonnée suivant les puissances de t^ tant que Ton a mod. t<^ R. Pour avoir les coefficients du développement, il sufBt de remplacer (f[z) par F' ( -s) dans la formule (9), et de faire

ensuite t = o, z = x, ;%- = i ; on obtient de cette mani ère

F'(z) ^ =F'(xl + i ^lh)m + ÏL '^[/(^)]'nr) . ^ ' Ô.T ^ ^ I dx 1.2 dx*

ce qui n'est autre chose que le résultat de la différentiation de la formule (11) par rapport à x.

Applications dé la formule de Lagrange,

388. Proposons-nous de développer en série ordonnée, suivant les puissances croissantes de t, la fonction continue z, définie par Téquation

m étant un nombre entier positif. L'équation (3) du n^ 386 se réduit ici à

z , , mx

zz=z X -\ ? dou z=.

l'équation du même numéro ( 2 ) donne ensuite

et nous devons nous borner à donner à t des valeurs dont le module soit inférieur à la valeur numérique de

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