CHAPITRE XI

la valeur de z donnée par la formule (11) du n» 387 devient alors

Le terme général de cette série a pour valeur

nm{nm — 1) . . . ( //m— /i -i- 2 ) ^^ „^, ^

«rt — — — — ^ « f

et Ton a, par suite,

u„^x ' (nm-\-m){rtm-hm — i) . . . (/z/w-f-i) ^^

u^ /i-fi (nm — n-h2)...[nm — n-\-m)

la limite de ce rapport pour n= 'X) est égale à

et l'on reconnaît ainsi » par les règles ordinaires de l'Algèbre , que notre série n'est convergente que pour les valeurs de t dont le module est inférieur à R.

389. L'emploi de la formule de Lagrange est souvent avantageux pour obtenir le développement en série des fonctions explicites; j'en présenterai ici deux exemples.

Supposons d'abord qu'on demande de développer en série ordonnée, suivant les puissances entières de t, la fonction

dans laquelle x désigne une quantité réelle donnée dont le module est inférieur à l'unité.

Je considérerai à cet effet l'équation du deuxième

SgO CALCUL t)IFFÉREMTlEL.

degré

dont les racines sont données par la formule

Pour que l'équation (i) ait ses racines égales, il faut que

Ton ait

I — 2tj: -h /*= o,

d'où Ton tire

X étant réelle et comprise entre — i et -|- i, le module de ces deux valeurs de t est égal à Tunité ; donc, pour toutes les valeurs de t dont le module est inférieur à i, celle des racines deTéquation (i) qui a le plus petit module estdéveloppable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de t. Si nous supposons que la quantité t soit réelle et comprise entre — I et -f-i, on aura, d'après la formule de Lagrange,

I — Jl — '2i.r-{-e* X* — I t

t 2 1 lue l.H

«tr'*— * I . 2 . . . /i

et, si Ton différentie par rapport à x les deux membtes de cette formule (n® 387, Remarque), il viendra

^i— 2tX -ht* en posant, pour abréger,

** I.2.,./I.2'* cLc**