DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES

Théorèmes relatifs à la décomposition des fractioTis

rationnelles,

391. La théorie de \dL décomposition des fractions rationnelles a une grande importance dans l'Analyse mathématique, et nous aurons particulièrement l'occasion d'en faire l'application dans le Calcul intégral. Aussi j'ai cru devoir reproduire ici tous les développements relatifs à cette théorie, que j'ai présentée dans mon Cours d' Algèbre supérieure (4* édition, tome I).

Nous commencerons par établir qu'une fraction ra-

F(.r) tionnelle 77-7» dont les deux termes sont des polynômes

quelconques premiers entre eux, est décomposable en une partie entière (qui peut être nulle), et en plusieurs fractions simples à numérateurs constants, ayant pour dénominateurs les diverses puissances des facteurs linéaires qui divisent le polynôme y(x). Nous démontrerons ensuite qu'une fraction rationnelle n'est décomposable ainsi que d'une seule manière, et nous indiquerons enfin le moyen d'efi'ectuer la décomposition.

392. Théorème I. — Si a désigne une racine de /Vquation f{jc) = o, a son degré de multiplicité, en sorte que l'on ait