CHAPITRE XII. 5g

yj(x) étant un polynôme non divisible par x — a, la

fraction rationnelle -77-75 supposée irréductible, pourra

toujours être décomposée en deux parties de la manière suii^ante :

A étant une constante, etF^^x) un polynôme entier. En effet, on a identiquement, quel que soit A,

LW = F(x] ^ A F(a:)~A/,(x)

et, pour que le deuxième terme du second membre ne contienne à son dénominateur que la puissance a — i du facteur x — a, il faut et il suffît que le numérateur F{x) — Ayi(x) s'annule pour j: = a. Posons donc

F(a)~A/i(û):==o, on aura

fiW

cette valeur de A sera finie et différente de zéro, puisque fi {a) et F(a) ne sont pas nuls ; si Ton fait alors

OD aura

FW A Fi(jr)

ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. — Si l'on a

a, &, . . . , l étant des quantités distinctes e£ a, 6, • . . , 2

S. — Caic. diff. 38

des entiers positifs y la fraction rationnelle -jj-i. pourra être décomposée de la manière suiv^ante :

F(.r) A A, Ac i

-f- -. -rr-7 +...4-

f[x) (x— fl)* (a: — a)*-* ' x — a

B B, Bj*

A, A| , . . . , B, B| y . . . , Ly L| , . . . , étant des constantes finies, et E(x) une fonction entière.

En effet, en posant, comme précédemment,

/(x)=(x-fl]«/,(x)

on a, par notre théorème,

(.r-û)-Vj(.r) .(x-«)«-«'^{x-û)-Vi(^)'

A^ Aj , . . . , A,i étant des constantes finies et déterminées, et F| (x), F2(a:), . . . , F«(x) des fonctions entières. II faut remarquer que la constante A n'est jamais égale à zéro, mais les quantités A|, A2, . . ., A.«i peuvent être nulles, car l'un des polynômes F|(x), Y^{x\... . peut être divisible par x — a; en ajoutant les égalités qui pré-