CHAPITRE XII. SpS

cèdent, il vient

(x — «)• (j: — fl)»-* ' ' ' ' X — a i(^]'

Si Ton pose

et que l'on opère sur la fraction *; i comme nous ve-

nons de le faire sur ~-{ 9 oa obtiendra une expression de la forme

— (a; ^)«"^ (a;-6)«-» "*■•••■*■ X- 6 "^ y,lx) '

et, par suite,

/(arj (j: — «)• (x — «)•-* jr — a

. B A, Be, F.,,f.r)

B, B4, . . . étant des constantes déterminées et F.^e(x) une fonction entière.

En continuant ainsi, on obtiendra évidemment la for-< mule qu'il s'agissait d'établir.

393. Théorème II. — Une fraction rationnelle nest décomposable que d'une seule manière en une partie entière et en fonctions simples.

5g6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Supposons qu'on ait trouvé ces deux valeurs d'une môme fraction rationnelle -77-T»

r: -f-. ..-4- 7 TTg •+-... -H Efx)

et

on aura

Cela posé, oc et a! étant respectivement les exposants des plus hautes puissances de a: — a dans les deux membres, je dis que a = a' et A = A'. Supposons, en effet, que « et ad soient inégaux et que « soit^^o'; tirons de

Téqualion précédente la valeur de -, r^> et réduisons

tous les autres termes au même dénominateur ; on aura

ou

A=3tx-.)|{^^,

f et ^ désignant des polynômes dont le second n'est pas divisible par x- -a. D'ailleurs, A est une constante; il faut donc qu'elle soit nulle, car l'équation précédente donne A = o pour x = a. Si donc A n'est pas nulle, on ne peut pas supposer a^a', et l'on ferait voir de même que, si o! n'est pas nulle, on ne peut supposer non plus a <^ a' ; on a donc a = a'.

Je dis maintenant que A=: A'; en effet, de la formule